Inferenza Filogenetica con il metodo della Minima Evoluzione Bilanciata

La soluzione del problema di Inferenza Filogenetica è costituita da un processo evolutivo che si sviluppa nel corso di migliaia o anche milioni di anni, il quale non è dunque empiricamente osservabile. La filogenia che modellizza questo processo non è perciò determinabile sperimentalmente nella maggior parte dei casi.

Per tale ragione la selezione di un albero binario attendibile segue un metodo teorico, basato su diversi criteri forniti a priori [1]. Tali criteri possono solitamente essere espressi in termini di problemi di ottimizzazione su matrici di incidenza archi-cammini. Fissato un determinato metodo la soluzione del corrispondente problema di ottimizzazione è detta filogenia ottima.
I motivi che inducono a preferire un determinato metodo a discapito degli altri sono molteplici. Anzitutto è determinante la complessità computazionale dei problemi di ottimizzazione corrispondenti; importa inoltre che la soluzione fornita sia biologicamente sensata anche quando i dati forniti in input, ovvero le distanze evolutive fra le specie, siano perturbati da errori sperimentali. Più specificatamente, vedremo a quali vincoli devono sottostare le matrici di distanza nei vari metodi affinché i pesi della filogenia ottima siano non negativi, preferendo le condizioni meno stringenti.
Infine un’ultima proprietà che terremo in considerazione nell’analisi dei vari criteri sarà la consistenza statistica. Le misure di diversità che solitamente si hanno a disposizione sono infatti incomplete, relative cioè a sequenze di DNA o RNA troncate.

Definizione 3.1. Nel seguito chiameremo la filogenia ottima del problema completo filogenia vera.
Definizione 3.2. Si ha consistenza statistica in un fissato metodo quando, al tendere, nella topologia indotta da una delle norme matriciali equivalenti di Rn×n, delle matrici di distanza delle sequenze troncate a quella ottenuta nel caso completo le corrispondenti filogenie ottime tendono alla filogenia vera. Tale limite è inteso per la prima parte della successione nella topologia {0, 1} 3 (n−1)(n−2) di tutti gli alberi binari non pesati su n taxa (vedi al Capitolo 2), la quale essendo discreta implica che le filogenie ottime raggiungano definitivamente la struttura topologica di quella vera. Nella parte finale invece si adotta la topologia indotta da una delle norme equivalenti di R2n−3, ovvero lo spazio dei pesi sugli archi degli alberi binari con n taxa.
Osservazione 2. Si assuma che le stime dei pesi, nota laconfigurazione non pesata del grafo, siano lineari rispetto alla matrice delle distanze e si noti che gli spazi topologici introdotti sopra sono generati da spazi normati di dimensione finita: si ha allora che tali funzioni sono continue rispetto a D =(dij)1≤i,j≤n.
Se la configurazione degli archi della filogenia limite di quelle ottime soddisfa il problema con le distanze complete in input ciò è sufficiente a concludere la consistenza statistica. Infatti al tendere delle matrici di distanza delle sequenze troncate a quella ottenuta nel caso completo le corrispondenti filogenie ottime tendono alla filogenia vera per la continuità delle stime dei pesi. In sostanza se i pesi sono stimati linearmente la parte finale del limite è sempre verificata, mentre rimane da controllare la parte nella topologia discreta dei grafi.
Dunque per dimostrare la consistenza statistica è sufficiente dimostrare che la configurazione degli archi della filogenia limite di quelle ottime è ottima anche per il problema con le distanze complete in input. La condizione è poi anche necessaria per la definizione data di filogenia vera.

Esistono tre classi principali di criteri [1]:
criterio di parsimonia : questo criterio afferma che tra varie possibili spiegazioni di un fenomeno osservato è da preferirsi quella che richiede il minor numero di assunzioni. Di conseguenza viene selezionata come soluzione ottima quella la cui somma dei pesi sui cammini fra tutte le coppie di foglie è minima. Trovare la filogenia più parsimoniosa per un insieme di taxa è però un problema che è statodimostratoessere NP-difficile, percuinonsononotialgoritmi polinomiali, e un ulteriore inconveniente è rappresentato dal fatto che, in alcune circostanze, tale criterio si è rivelato statisticamente non consistente [1];
criteri di verosimiglianza : questi criteri affermano che tra varie possibili spiegazioni di un fenomeno osservato è da preferirsi quella con la più alta probabilità di verificarsi, che viene stimata in diversi modi [1]. Di conseguenza viene selezionata come soluzione ottima quella con la maggiore probabilità, definita nei vari modi, di giustificare le specie osservate. Anche trovare la filogenia più verosimile per un insieme di taxa è però un problema che è stato dimostrato essere NP-difficile, sebbene abbia il vantaggio, rispetto al criterio di parsimonia, di essere statisticamente consistente [1];
criteri basati sulla distanza : tali criteri mirano a trovare la filogenia che meglio si adatta alla matrice delle distanze fornita in input. A seconda della definizione di “adatta” si possono implementare diversi criteri basati sulla distanza.

Di seguito vengono esposti tre importanti criteri basati sulla distanza ed il loro comportamento al tendere dei dati iniziali ai valori veri. Il principale aspetto che induce a preferire il metodo della Minima Evoluzione è che si può dimostrare in generale la sua consistenza statistica. Inoltre, prendendo in considerazione un caso particolare e determinati parametri, i primi due criteri presentano problemi dei quali invece il terzo è dimostrato, con simulazioni al computer (vedi [5]), non soffrire. Gli altri motivi, ovvero la minore complessità computazionale e la coerenza biologica di tale metodo, verranno investigati più avanti, nella trattazione del caso Bilanciato al Capitolo 4.