Teoremi di esistenza per disequazioni variazionali e quasi-variazionali associate a funzioni discontinue

Lo scopo principale di questo capitolo è quello di fornire una presentazione della teoria delle multifunzioni e delle loro principali proprietà. Quando non diversamente specificato, X e Y rappresenteranno due spazi metrici, con distanze, rispettivamente, dX e dY.

Una multifunzione F definita in X a valori in Y è una legge che associa ad ogni elemento x dell'insieme X uno ed un solo sottoinsieme F (x) dell'insieme Y.

Tale sottoinsieme F (x) ⊆ Y, che potrebbe anche essere l'insieme vuoto, sarà detto valore della multifunzione nel punto x o, equivalentemente, immagine di x mediante la F.


La notazione che useremo per indicare una multifunzione defnita in X a valori in Y è la seguente:

F : X → 2Y

Nel caso in cui, per ogni x ∈ X, l'insieme F (x) sia costituito da un unico punto, F si riduce ad un'ordinaria funzione univoca. È dunque evidente che le usuali funzioni univoche sono particolari multifunzioni.
Sia F : X → 2Y una multifunzione. Chiamiamo grafico di F il seguente insieme

gr(F) := {(x, y) ∈ X • Y : y ∈ F (x)}

Diciamo che la multifunzione F : X → 2Y è non banale se il suo grafico è non vuoto, ossia se esiste almeno un elemento x ∈ X tale che F (x) = ∅.

Si chiama dominio della multifunzione F l'insieme delle x ∈ X la cui immagine è non vuota, cioè l'insieme

dom(F)= {x ∈ X : F (x) = ∅}.

Si definisce codominio della multifunzione F l'insieme

F (X)= U F (x).
x∈X

Nel seguito, assumeremo che le multifunzioni considerate siano a valori non vuoti.
Vogliamo ora estendere alle multifunzioni l'usuale nozione di continuità valida per le funzioni univoche.