Catene di Markov e processi epidemici stocastici

Tra i modelli matematici che sono stati sviluppati per descrivere l’evoluzione di una malattia infettiva, notevole importanza rivestono i cosiddetti modelli compartimentali, ovvero quei particolari modelli che si basano sulla suddivisione della popolazione in un certo numero di classi (“compartimenti”) a seconda della loro condizione nei confronti della malattia in questione.
Alle iniziali delle classi sono dovuti i nomi dei modelli. Nel modello SIS la popolazione `e ripartita nelle seguenti classi: 1) Suscettibili: individui che sono sensibili al contagio; 2) Infettivi: individui che hanno contratto la malattia e quindi sono contagiose. Nel modello SIR, in aggiunta alle prime due, è presente una terza classe: 3) Rimossi: individui che non sono né suscettibili né infettivi e che vengono rimossi dalla dinamica dell’infezione o perché sono guariti ed hanno acquisito immunità o perché sono isolati o perché (nel caso di malattie gravi) sono morti.
Nello sviluppo dei due modelli, adotteremo le seguenti ipotesi: a) il contagio avviene per contatto diretto con un individuo infettivo; b) non esiste un tempo di incubazione: ogni persona che si ammala è immediatamente infettiva; c) la probabilità di incontro tra due individui qualsiasi è la stessa.
Inoltre, indicati con N il numero totale di individui che compongono la popolazione e con S(t), I(t),R(t) il numero di individui al tempo t, per ognuna delle classi, supponiamo che tale N rimanga costante, ciò è S(t) + I(t) + R(t) = N.