Dinamiche caotiche nel modello preda-predatore di Volterra-Lotka

8 CAPITOLO 1. RISULTATI PRELIMINARI
1.3 Sistemi dinamici discreti
Definizione 21. Un sistema dinamico discreto in W⊆R
n
è un diffeomor-
fismo di W in sé:
f :W→W,
cioè una funzione differenziabile con inversa differenziabile (di classe C
1
al-
meno). Un’orbita di un sistema dinamico discreto è una funzione k7→ X
k
della variabile discreta k∈Z a valori in W che soddisfa, per ogni k∈Z :
X
k+1
=f(X
k
)
Osservazione 22. L’ipotesi di regolarità della funzione f nella definizione
precedente potrebbe essere rilassata. Si possono definire sistemi dinamici a
partire da qualunque mappa f. Scegliendo delle mappe almeno continue si
assicura un comportamento abbastanza regolare per le semiorbite positive
(ovvero quella parte di orbite con indici k positivi). Se la mappa f è anche
invertibile possiamo parlare di semiorbite negative (la parte di orbite con
indici k negativi) e se f
−1
è anche invertibile, cioè se f è un omeomorfismo,
anche le semiorbite negative saranno abbastanza regolari. La condizione di
differenziabilità, invece, viene imposta soprattutto per poter approssimare la
mappa f, nell’intorno di certi punti, con il suo differenziale. Come nel caso
dei sistemi continui, questa tecnica è utile per l’analisi di stabilità, tuttavia
non è indispensabile e spesso inefficace.
Nei sistemi dinamici continui esistono particolari orbite costanti che coin-
cidono con i punti di equilibrio. Analogamente, per i sistemi dinamici discreti
possiamo definire i punti fissi.
Definizione 23. Un punto fisso per un sistema dinamico discreto definito
dalla mappa f è un puntoX tale cheX =f(X). Dalla definizione di orbita
di un sistema discreto segue che un punto fisso coincide con la traiettoria di
un’orbita costante.
Si può parlare di stabilità nel caso discreto, in modo analogo al caso
continuo.
Definizione 24. Un punto X
0
si dice stabile per la mappa f se per ogni
> 0 esiste un δ> 0 tale che:
|X−X
0
|<δ⇒|f
k
(X)−f
k
(X
0
)|< ∀k∈N.
X
0
sidiceasintoticamentestabileperf seèstabileedinoltreesisteunintorno
U di X
0
tale che
X∈U⇒ lim
k→∞
|f
k
(X)−f
k
(X
0
)| = 0.