Lifting e generazione di disuguaglianze per il politopo delle matrici “Consecutive Ones”

Lo studio sviluppato in questa tesi muove dall’esigenza di dare una formulazione matematica ad alcuni problemi di sequenziamento ottimale che emergono in diversi ambiti applicativi, quali ad esempio la pianificazione della produzione, l’industria del taglio e la progettazione di circuiti elettronici. In tali situazioni si presenta spesso l’esigenza di trovare una permutazione ottimale di schemi, quali ad esempio ordini di un prodotto, schemi di taglio, porte in un circuito elettronico, al fine di minimizzare un’opportuna funzione obiettivo di costo: tali problemi vengono denominati pattern sequencing problems.
Nel Capitolo 1 prenderemo in considerazione due importanti esempi di problemi di sequenziamento: il Minimization of Open Stacks Problem (MOSP) e il Gate Matrix Layout Problem (GMLP).
I due problemi presentati possono essere modellati in termini di programmazione lineare intera.
In letteratura, si è osservato come la definizione dei problemi possa essere messa in relazione con la proprietà dei pattern di ammettere una permutazione la quale renda consecutivi gli elementi presenti negli schemi. In termini matriciali ciò si traduce nella definizione di matrici binarie che godano della cosiddetta “proprietà degli uni consecutivi” (o siano C1P).
Forniremo nel Capitolo 2 una serie di nozioni di teoria dei grafi: in particolare si introdurrà il concetto di tripla asteroidale di vertici in un grafo. Verranno poi richiamati alcuni risultati di geometria della programmazione lineare, e soprattutto verrà presentato lo strumento principale di questa tesi: la nozione di lifting di una disuguaglianza lineare, valida per un insieme 0-1.
Nel Capitolo 3, sfruttando la caratterizzazione che lega matrici C1P a grafi bipartiti privi di triple asteroidali in uno dei due sottoinsiemi di vertici, si illustrerà un teorema di Tucker per la caratterizzazione strutturale di tali grafi.
Si passerà a studiare la formulazione per il politopo C1P, ottenendo in particolar modo una descrizione tramite disuguaglianze definenti faccette.
In particolare si analizzeranno due procedure le quali generano disuguaglianze cercando di escludere una o molteplici triple asteroidali nel grafo bipartito di partenza.
Nel Capitolo 4 si introduce il primo contributo di questa tesi: si individueranno delle caratteristiche comuni fra le procedure per la definizione di disuguaglianze valide per il
politopo C1P e l’algoritmo di lifting sequenziale. Eseguendo nei dettagli il lifting sequenziale su di un esempio specifico si cercheranno di analizzare le due possibili scelte che determinano le disuguaglianze risultanti dall’algoritmo, ovvero la disuguaglianza che inizializza la sequenza dei lifting, e l’ordine delle variabili secondo il quale eseguire le varie iterazioni.
In seguito al Capitolo 5, che costituisce il principale contributo originale della tesi, si passerà ad analizzare, oltre alla configurazione grafica
di partenza, anche la scelta dell’ordinamento con il quale eseguire la sequenza di lifting sulle variabili della disequazione.
Si giungerà a questo punto al risultato centrale della tesi: si dimostrerà come, sotto opportune condizioni, le procedure note per la formulazione di disuguaglianze valide per
le matrici C1P sono esattamente equivalenti ad un lifting sequenziale.
A tale scopo, si classificheranno in maniera generale tutte le possibili configurazioni di tre cammini che rendono una tripla di nodi colonna asteroidale in un
grafo bipartito, riottenendo fra i casi particolari le generalizzazioni dei minori di Tucker. L’importanza teorica e applicativa di questo risultato risiede nel fatto che, nei casi in cui
una tale identificazione è possibile, le procedure erediteranno le proprietà generali del lifting.
Nel Capitolo 6 si verificheranno i risultati ottenuti per lifting e procedure. Si cercherà di estendere l’applicazione del lifting anche a disuguaglianze iniziali di tipo diverso da
quelle correlate a configurazioni non C1P nella maniera sopra accennata (ad esempio non necessariamente a coefficienti unitari). Lo studio in questo caso utilizzerà sia i risultati
dimostrati nella trattazione riguardo alle proprietà delle disuguaglianze di partenza per il lifting, sia strumenti computazionali come un codice C++ che generi opportune sezioni iniziali ed il software PORTA per lo
studio delle dimensioni delle facce ottenute.
L’estensione trattata al Capitolo 6 fornirà degli spunti per alcuni possibili sviluppi futuri, suggeriti al Capitolo 7.