Sul principio delle applicazioni contrattive

Oggetto di questa tesi sono il principio delle applicazioni contrattive e il suo viceversa. Più precisamente, ci siamo posti il problema di stabilire sotto quali condizioni su un operatore, definito da uno spazio metrico completo in sé stesso, esiste una metrica equivalente con riferimento alla quale l’operatore risulta essere contrattivo. Un primo risultato in questa direzione è stato fornito da Janos e successivamente in una forma più generale da Meyers. Ulteriori contributi particolarmente significativi si devono a Bessaga. D’altra parte, in letteratura sono presenti varie generalizzazioni del principio delle applicazioni contrattive. Nella presente tesi esaminiamo in particolare il principio della contrazione generalizzata, dovuto a Krasnosel’skii, e il principio della contrazione locale, dovuto a Edelstein. Gli argomenti fin qui riassunti, sono adeguatamente trattati nel primo capitolo di questo lavoro di tesi. Nel secondo capitolo invece, si estendono i risultati ottenuti nel primo capitolo, affrontando il problema dell’esistenza di una metrica equivalente con riferimento alla quale famiglie e semigruppi di operatori sono contrattivi. Sarà, inoltre, mostrato il collegamento fra tale problema di esistenza e la teoria della stabilità del moto. Più in dettaglio, nel primo paragrafo si definiscono famiglie contrattive di operatori e si considerano le proprietà dei processi di iterazione generati da tali famiglie di operatori. Quindi, si deducono condizioni sufficienti per l’esistenza di una metrica equivalente in cui una famiglia è appunto contrattiva. I primi risultati in questa direzione sono stati ottenuti da Goldman e Meyers. Nel secondo paragrafo, si esaminano problematiche analoghe per semigruppi contrattivi. In questo caso, i primi risultati sono da attribuirsi a Meyers. Proprio i contenuti di questo secondo paragrafo sono strettamente connessi con il problema dell’esistenza di una funzione di Lyapunov nella teoria della stabilità del moto. Mostreremo, infatti, che una funzione di Lyapunov, per un sistema autonomo uniformemente asintoticamente stabile, può sempre essere “interpretata” come la distanza, in un’opportuna metrica, di un punto dallo stato di equilibrio. Nel terzo paragrafo, si discutono risultati analoghi ai precedenti con riferimento al caso di applicazioni lineari negli spazi di Banach. Infine, nel quarto paragrafo vengono presentati alcuni risultati alternativi atti a provare la convergenza e la stabilità dei processi di iterazione.