Modelli di interazione popolazione sostanze tossiche: analisi qualitativa e controllo ottimo

Introduzione Lo scopo della presente tesi ` e di studiare, dal punto di vista dell’analisi qualitativa e del controllo, due modelli matematici di interazione tra popolazioni e sostanze tossiche in un ambiente inquinato. Entrambi i modelli analizzati sono costituiti da un sistema di tre equazioni di e- renziali ordinarie non lineari. Il primo, cui ci riferiremo nel seguito come Modello di Hallam ` e stato introdotto da T. G. Hallam ed i suoi collaboratori in un articolo pubbli- cato nel 1983 sulla rivista Journal of Mathematical Biology [9]. Tale modello descrive l’evoluzione nel tempo di tre variabili di stato: una popolazione vivente nell’ecosiste- ma (la cui misura ` e indicata col simbolo x), la concentrazione di una o pi` u sostanze tossiche presenti nell’ecosistema (c e ) e la concentrazione di sostanze tossiche assorbite o ingerite dalla popolazione e quindi presenti all’interno dei singoli organismi viventi (c 0 ). Il modello di Hallam, che per la sua formulazione risulta particolarmente adatto a rappresentare la dinamica di ambienti acquatici, ` e stato successivamente esteso e applicato in molti diversi contesti quali, ad esempio, la competizione di popolazioni itra e inter-specifica, l’evoluzione in ambiente di tipo chemostato e l’evoluzione in ambienti con capacit` a portante variabile ([3, 10, 13]). Il secondo modello oggetto della tesi ` e il cosiddetto Modello di Freedman-Shukla, proposto da J. B. Shukla e H. I. Freedman nel 1991, [6]. Tale modello ` e una delle estensioni pi` u importanti del modello di Hallam e si basa sulla idea che una migliore rappresentazione della realt` a si pu` o conseguire assumendo che: i) la capacit` a portante dell’ambiente non sia costante, ma dipendente dalla quantit` a di sostanza tossica presente nell’ambiente stesso; ii) la dinamica della sostanza tossica presente negli organismi dipenda dalla quantit` a totale di organismi presenti nell’ambiente. In questo lavoro di tesi i modelli di Hallam e Freedman-Shukla sono studiati sia attraverso l’analisi qualitativa delle soluzioni (in particolare esistenza e stabilit` a locale degli equilibri) sia attraverso la teoria del controllo ottimo. Quest’ultimo approccio ` e basato sull’ipotesi che sull’ecosistema si possa agire con un intervento di depurazione, ipotesi rappresentata nel modello da un termine negativo nel bilancio della equazione di c e . Nel decidere la strategia di intervento, che si suppone duri per un tempo finito T, si assume che si debba analizzare il trade-o tra la riuscita dell’intervento ed i co- sti che questo comporta. Il problema di controllo viene quindi a rontato utilizzando tecniche del controllo ottimo e, in particolare, il Principio di Pontryagin ([1, 8]). Da un punto di vista dell’analisi matematica, vengono ricavate le equazioni di ottimalit` a e viene discusso il problema dell’esistenza e unicit` a del controllo ottimo. L’analisi del- le soluzioni ottime viene poi proseguita mediante metodi numerici. In particolare, si studiano le strategie ottime di intervento quando il sistema ` e inizialmente in equilibrio o in crisi. I dati iniziali di equilibrio corrispondono all’equilibrio localmente asinto- 5