Soluzione analitica per il problema delle vibrazioni libere e forzate di una trave laminata magneto-elettro-elastica

Nella presente tesi è stato sviluppato un modello analitico mono-dimensionale, al fine di ottenere una soluzione in forma chiusa per il problema delle vibrazioni libere e forzate di travi laminate magneto-elettro-elastiche multi-stratificate. Il problema meccanico è stato affrontato con un approccio teorico di tipo classico, integrando nel legame costitutivo i contributi degli accoppiamenti piezoelettrici e piezomagnetici. Le equazioni di compatibilità sono state derivate assumendo il modello cinematico ipotizzato dalla teoria della trave di Timoshenko, in cui si considera non trascurabile il contributo deformativo dello scorrimento a taglio. Il campo di deformazioni ottenuto è stato integrato nelle equazioni fondamentali dell'elettrostatica e magnetostatica, nell'ipotesi di campi elettrici e magnetici quasi-stazionari e in assenza di densità di carica e correnti elettriche, derivando le leggi di variazione dei rispettivi potenziali scalari e dei campi d'induzione lungo gli spessori. Per poter determinare univocamente i potenziali e le induzioni, sono state poi assegnate le condizioni magneto-elettriche al contorno sulle facce superiori e inferiori della trave. Il problema dinamico è stato impostato scrivendo le equazioni indefinite del moto in termini di caratteristiche di sollecitazione. In particolare, si è constatato che le grandezze magneto-elettriche entrano nella soluzione sottoforma di un carico assiale e di un momento flettente equivalenti per unità di lunghezza. Lo studio della dinamica libera è stato condotto risolvendo il sistema di equazioni differenziali omogenee di governo, ottenute ponendo uguale a zero le forzanti applicate meccaniche e magneto-elettriche equivalenti, determinando attraverso il metodo della separazione di variabili le forme modali e le frequenze naturali associate ai singoli modi propri vibrazionali. Il problema delle vibrazioni forzate è stato risolto mediante la definizione di operatori simbolici differenziali, che hanno consentito di ricavare una soluzione particolare, da sovrapporre alla soluzione del sistema omogeneo associato. Si è potuta ottenere la soluzione generale e la risposta in frequenza per una trave piezoelettrica a 4 strati doppiamente incastrata, a cui è stata applicata una forzante meccanica trasversale tempo-armonica e con distribuzione assiale di tipo sinusoidale. Per controllare la validità del modello analitico proposto, si sono infine effettuate comparazioni fra le frequenze naturali calcolate analiticamente e quelle ricavate mediante metodo numerico approssimato agli elementi finiti e/o disponibili in letteratura.