Il teorema di Kuhn-Tucker e applicazioni

In questa tesi è centrale il ruolo delle condizioni di ottimalità di Kuhn-Tucker, che caratterizzano i punti di ottimo di funzioni, in generale non lineari, in spazi di n dimensioni, soggette a vincoli di uguaglianza e disuguaglianza.
Studieremo i comportamenti di un individuo che desidera investire una certa somma di denaro in titoli rischiosi e non rischiosi solamente su mercati a termine. Vedremo come il teorema di Kuhn-Tucker applicato ad un particolare problema di ottimizzazione convessa possa aiutare l'investitore a trovare le condizioni affinché il suo portafoglio sia ottimo, cioè un portafoglio che sia in grado di massimizzare l'utilità attesa della ricchezza investita, e a costruire una copertura perfetta su un mercato a termine.
Nel primo capitolo viene introdotto un problema di ottimizzazione convessa in cui si vuole massimizzare una funzione f concava e differenziabile su un insieme aperto convesso C, sotto dei vincoli di uguaglianza e disuguaglianza.
Sotto queste ipotesi enunciamo il teorema di Kuhn-Tucker, che assegna le condizioni necessarie e sufficienti affinché un elemento di C sia soluzione del problema .
Nel secondo capitolo vengono analizzati i comportamenti dell'investitore, caratterizzati dal principio di razionalità, e vengono sviluppate due teorie sulle quali si basano le scelte future dell'investitore: la teoria dell'utilità e il criterio media-varianza.
In questo contesto considereremo soltanto mercati a termine, cioè mercati in cui ci si impegna a comprare (o vendere) un bene in una data futura prestabilita. Dunque, definiremo i mercati completi e l'opportunità di arbitraggio, ovvero la possibilità di un guadagno sicuro senza alcun rischio, e analizzeremo due applicazioni, la gestione e la copertura di un portafoglio finanziario.
In entrambe le applicazioni faremo uso del teorema di Kuhn-Tucker per massimizzare una specifica funzione caratterizzata da certe condizioni, ad esempio, sul portafoglio (vendita allo scoperto) o sul livello di produzione. Nella prima applicazione massimizziamo l'utilità attesa della ricchezza investita in un portafoglio sotto vincoli ben precisi e tramite il teorema di Kuhn-Tucker troviamo le condizioni per un portafoglio ottimo per l'investitore senza opportunità di arbitraggio, facendo, infine, anche i seguenti esempi: attraverso l'approssimazione al secondo ordine con la formula di Taylor otteniamo le condizioni di ottimalità approssimate e data una funzione d'utilità quadratica scriviamo il portafoglio ottimale. Nella seconda applicazione troviamo le condizioni di ottimalità affinché un portafoglio garantisca all'investitore una copertura, tenendo conto anche del suo bisogno di speculazione. Con il termine copertura si intende un portafoglio costruito in modo tale che a fine periodo si possano tranquillamente rispettare tutti gli accordi presi evitando, così, ogni rischio di insolvenza.