Il prezzo di opzioni americane: valutazione attraverso il problema duale e il metodo Monte Carlo

Questa tesi affronta un problema di grande interesse studiato da numerosi economisti, che si è notevolmente sviluppato negli ultimi decenni grazie al contributo di personaggi illustri come Fisher Black, Myron Scholes e Robert Merton, ovvero il prezzaggio di opzioni americane. Negli anni settanta, questi studiosi svilupparono un modello teorico per la determinazione del prezzo di un'opzione, dando, così, un notevole contributo e un nuovo slancio alla teoria della valutazione dei prezzi. Il loro è un modello di mercato senza possibilità di arbitraggio, a tempo continuo, in cui sono ammesse vendite allo scoperto e il sottostante segue un moto browniano geometrico.
Esistono vari tipi di opzioni, che differiscono tra loro, sostanzialmente, per il tempo di esercizio; ma, in questo ambito ne verranno studiate soltante due: l'opzione europea e l'opzione americana. L'aspetto di maggior interesse nello studio delle opzioni è, appunto, la determinazione del prezzo iniziale. Tale problema, nel caso di opzioni europee, è completamente risolto grazie alla formula di Black e Scholes. Invece, calcolare il prezzo di un'opzione americana risulta un compito assai arduo, dovuto anche alla flessibilità della data di esercizio. In compenso, però, quando trattiamo situazioni complicate quali, ad esempio, opzioni americane in un modello di mercato a tempo continuo che dipendono da un'elevato numero di sottostanti, esistono differenti metodi numerici per approssimarne il valore. Lo scopo di questo studio è trovare una limitazione superiore del prezzo che sia sufficientemente vicina al suo valore reale, in modo da ottenere un'approssimazione piuttosto soddisfacente.
La limitazione superiore può essere ottenuta tramite opportune simulazione Monte Carlo. Per questo motivo, nel Capitolo 1 verrà descritto il metodo Monte Carlo. Questo, in pratica, consiste nel simulare, per un certo numero di volte, un fenomeno d'interesse che sarebbe difficile da osservare e studiare nella realtà. Ad ogni simulazione si otterrà un risultato che viene analizzato e, temporaneamente, 'archiviato'; dopo un gran numero di ripetizioni del fenomeno i dati che si sono accumulati produrranno un dato statistico di un certo rilievo. Queste simulazioni si basano sull'osservazione di un campione casuale, estratto dalla popolazione che descrive il problema, e quindi rappresentato dal calcolatore con una serie di numeri casuali. Per poterli generare si ricorre ad un procedimento deterministico attraverso il quale si costruisce una sequenza di numeri pseudorandom, ovvero numeri non realmente aleatori ma comunque efficaci allo scopo.
Il Capitolo 2 tratterà diverse problematiche relative ad opzioni sia di tipo europeo che di tipo americano, proposte in differenti contesti sotto differenti ipotesi. Considerata un'opzione europea, cercheremo un'espressione esplicita per il prezzo, prima in un modello di mercato discreto, ovvero il modello di Cox-Ross-Rubinstein (CRR), che sotto precise ipotesi risulterà privo di arbitraggio e completo (Primo e Secondo Teorema dell'Asset Pricing), poi nel modello Black e Scholes, sviluppato come limite del modello CRR. Nell'ultima parte del capitolo, ci soffermeremo sulle opzioni americane, quindi sul problema di pricing e di copertura. Poiché nel caso di opzioni americane il possessore deve decidere di esercitare in un istante che gli permetta di ottenere il massimo guadagno positivo possibile, il problema del prezzaggio si riduce ad un problema di arresto ottimo.
Il Capitolo 3 si basa sull'articolo "Monte Carlo valuation of American options" di Rogers, in cui viene analizzato il problema del prezzo per opzioni americane in un modello di mercato a tempo continuo. Rogers sviluppa la sua teoria attraverso l'introduzione del problema duale nel caso del tempo continuo. Con questo tipo di approccio, Rogers decide di non risolvere il problema di arresto ottimo, ma di occuparsi di un problema equivalente, il problema duale, da cui è immediato trovare una limitazione superiore al prezzo. La limitazione superiore, dipendente dalla scelta di una martingala in uno spazio ben preciso, sarà calcolata utilizzando Matlab e implementando algoritmi per la simulazione delle traiettorie del sottostante e del prezzo della put europea. Si vedrà che i risultati, presentati in una tabella, ottenuti effettuando una scelta quasi brutale della martingala sono molto soddisfacenti.
La tesi si conclude con alcune appendici in cui si richiamano nozioni di probabilità, sia nel caso discreto che in quello continuo, e strumenti per il calcolo stocastico utilizzati per poter definire l'integrale di Ito, indispensabile per la risoluzione dell'equazione differenziale stocastica che regola l'andamento del prezzo del sottostante nel modello Black e Scholes.