Il metodo GMM applicato alla stima di un modello short rate e valutazione numerica di opzioni su tassi

Capitolo1 I modelli short-rate per i tassi di interesse 1.1 PerchØ modelliamo i tassi di interesse? 1 Iniziamoquesto capitolo con una domanda: “PerchØ ci interessa modellare i tassi di interesse?” Per determinare come cambia il valore del denaro dispo- nibile a date future. Questo valore può essere stimato ricorrendo alla “teoria 2 della valutazione di non-arbitraggio”. Secondo questa teoria i prezzi di non arbitaggio dei titoli sono dei valori attesi sotto la c.d. misura neutrale al rischio o misura equivalente di martingala sotto la quale il processo 3 dei prezzi attualizzato risulta essere una martingala. Detto diversamente, 1 In tutto ciò che segue supporremo di lavorare con uno spazio di probabilità ( ;F;F;P) con filtrazioneF =fFg: Il significato intuitivo di filtrazione è quello di flusso di in- tt2[0;T] formazione a disposizione degli operatori sul mercato. Tecnicamente è una successione crescente di sotto- -algebre della -algebraF. Tuttavia il significato intuitivo di informa- zione disponibile al tempot basta agli scopi della presente tesi. Avremo poi a che fare con processi stocastici (p.s.) adattati, il che vuol dire che la v.a. XèF-misurabile per ognit tt (per maggiori particolari su filtrazioni e processi stocastici vedi Pascucci [18]). Comunque nel seguito potremo tranquillamente ignorare queste condizioni tecniche. Ci basterà l’in- terpretazione di un processoF-adattato come un processo in cui la variabile X, in base tt all’informazione disponibile in t, è nota. Occorre giusto avere la nozione di valore atteso condizionato per la quale si rimanda al testo di Shreve [19]. 2 Vedi in proposito Harrison e Kreps [13] e Harrison e Pliska [14], [15] 3 Un processo stocasticofX: t2 [0;T ]g, definito sullo spazio di probabilità filtrato t ( ;F;F;P), si dice una martingala seE[XjF] = X;8t < s: Talvolta il valore atteso stt 3