Wavelets e analisi multirisoluzione

Capitolo 1 Cenni storici Dato un qualsiasi fenomeno naturale che evolve nel tempo (un segnale), si e` da sempre cercato di descriverlo attraverso opportuni modelli matematici. Si puo` immediatamente pensare al caso delle onde sonore. Fisicamente, il suono e` un’oscillazione compiuta da atomi e molecole in un particolare mezzo (per esempio, l’aria). Sotto l’azione di un impulso, le particelle si muovono attorno alla loro posizione di equilibrio e trasmettono questa vibrazione anche a quelle adiacenti, grazie alle proprieta` meccaniche del mezzo. L’impulso iniziale, pertanto, si propaga sotto forma di un’onda, chiamata onda sonora o acustica. Graficamente, le onde sonore vengono rappresentate nel piano cartesiano, in cui l’asse delle ascisse e` il tempo t, mentre l’asse delle ordinate e` l’ampiezza A, ossia lo spostamento della generica particella dalla sua posizione di riposo. Il caso piu` semplice e` quello dei suoni puri, il cui grafico e` un’onda sinusoidale. Allora e` immediato definire • il periodo T dell’onda, che e` la distanza tra due punti di massimo e rap- presenta l’intervallo di tempo impiegato da una particella per compiere un’oscillazione completa attorno alla sua posizione di equilibrio; • la frequenza f , ossia il numero di oscillazioni al secondo; • l’ampiezza A0, i.e. il massimo spostamento (in valore assoluto) della particella dalla posizione di equilibrio. Quindi, i suoni puri sono periodici di periodo T ; inoltre, valendo f = 1T , maggiore e` la frequenza, minore sara` il periodo. L’ampiezza, invece, dipende dall’impulso iniziale che da` origine all’onda: piu` forte e` l’impulso, maggiore risulta A0. Nota 1.1. La frequenza e` data in Hertz (Hz), dove 1 Hz = 1 oscillazione al secondo, mentre l’ampiezza si misura in Newton al metro quadrato (Nm−2). 1