I numeri p-adici ed il lemma di Hensel

Una delle nozioni che si affrontano già durante le prime lezioni dei corsi di analisi matematica è quella dell’insieme dei numeri reali R. Normalmente, tale insieme viene costruito tramite le sezioni di Dedekind e motivato con la richiesta di lavorare su un oggetto che goda di una proprietà che invece non vale nell’insieme dei razionali Q: la completezza.
E ́ parimenti possibile costruire l’insieme dei reali senza utilizzare le sezioni di Dedekind: tale costruzione sfrutta l’incompletezza dei numeri razionali come base di partenza e di fatto “aggiunge” a Q gli elementi necessari per renderlo completo, operando in modo che tutte le successioni di Cauchy diventino convergenti. Tale costruzione è inoltre generalizzabile ad uno spazio metrico qualunque. Sotto questi termini, R diviene il completamento di Q secondo la tradizionale metrica euclidea, ovvero il valore assoluto.
In Q è però possibile assegnare metriche non equivalenti a quella euclidea; se ad esempio operiamo con la metrica banale otterremo che Q è già completo rispetto ad essa. Esistono inoltre infinite metriche, una per ogni numero primo p, rispetto alle quali Q non è completo: esse sono le metriche p-adiche ed è naturalmente possibile costruire i vari completamenti di Q mediante lo stesso procedimento utilizzato nel caso di R. Ciò che si ottiene sono campi profondamente diversi da R, denominati numeri p-adici. Il teorema di Ostrowski afferma inoltre che le metriche p-adiche, la metrica banale e quella euclidea sono, a meno di equivalenze, le uniche metriche possibili sui razionali, dunque garantisce l’impossibilità di trovare completamenti non banali di Q diversi dai numeri reali o dai numeri p-adici, sempre a meno di isomorfismi.
Si possono inoltre definire i numeri p-adici come frazioni dell’anello Zp, ottenuto come limite proiettivo di una particolare successione di anelli di classi di resto: tale costruzione è puramente algebrica e diviene di particolare interesse per meglio comprendere la struttura dei numeri p-adici stessi. Su questi campi è possibile, in modo naturale, produrre risultati analoghi a quelli già noti sui reali: è il caso del lemma di Hensel, ovvero la versione p-adica del metodo di Newton per la ricerca di una soluzione di un’equazione a partire da una sua soluzione approssimata. Tale lemma può tornare immediatamente utile a stabilire, ad esempio, quali numeri p-adici ammettano l’esistenza di una radice quadrata.