Sviluppo e stima di un modello ecologico non lineare di reazione e diffusione tramite il metodo degli elementi finiti

Questo lavoro di tesi parte da un modello ecologico di competizione preda-predatore tra fitoplancton e zooplancton sviluppato da M. Garvie (2007)*: si tratta di un modello non lineare di reazione-diffusione con equazioni alle derivate parziali di tipo parabolico e dinamica spazio-temporale. Tali equazioni hanno per variabili la concentrazione della preda e del predatore e sono caratterizzate da parametri sia per il termine di reazione che per quello di diffusione.
Il modello, una volta definiti un dominio spaziale bidimensionale e un orizzonte temporale, è stato discretizzato mediante il metodo delle differenze finite (secondo lo schema proposto da Garvie nel suo studio) e ne sono state effettuate simulazioni al variare dei valori dei parametri.
Partendo dalla simulazione prodotta con valori nominali, è stata effettuata una procedura di stima dei parametri di reazione e del coefficiente di diffusione nel caso di disponibilità di informazione solo per un numero limitato di punti del dominio spaziale: i parametri del termine di reazione vengono stimati a partire dalla dinamica di un determinato punto, dopodiché vengono utilizzati per predire il coefficiente di diffusione considerando l’evoluzione dell’intera griglia di discretizzazione ad un istante finale prestabilito.
La stima è stata ulteriormente raffinata con un procedimento iterativo che permette di ottenere valori dei parametri molto vicini a quelli del modello nominale, con un basso errore quadratico medio. Sono state analizzate le prestazioni al variare del numero di iterazioni della procedura e dei valori del coefficiente di diffusione ottenuti.
Viene poi introdotto il metodo degli elementi finiti, tecnica numerica per la risoluzione approssimata di equazioni alle derivate parziali nella quale, dopo aver diviso il dominio continuo in primitive di semplice forma (o elementi finiti), le soluzioni vengono espresse come combinazioni lineari di funzioni di base del dominio discreto, in genere funzioni polinomiali a tratti. I coefficienti di tali combinazioni lineari, detti gradi di libertà, costituiscono le incognite di un sistema di equazioni algebriche che approssima il sistema differenziale di partenza.
Nel lavoro di tesi vengono trattati esempi di utilizzo del metodo degli elementi finiti nello sviluppo di modelli di reazione-diffusione nel campo della modellistica biochimica e delle applicazioni biomediche, tratti dalla letteratura scientifica. Sono inoltre citati casi di studio e di utilizzo del metodo in altri settori ingegneristici, come l’elettromagnetismo applicato.
Dopo l’introduzione teorica al metodo, viene sviluppato il modello discretizzato agli elementi finiti del sistema continuo di partenza e ne vengono mostrate le simulazioni ottenute a mezzo di pacchetti software appropriati. Sono state infine valutate le performances di stima di alcuni parametri di tale modello discretizzato, in particolare i coefficienti rispetto ai quali le equazioni del modello continuo sono lineari.