Sistemi a coda con retrials: il caso Mk/Gk/1/r

La Teoria delle Code è un settore della Ricerca Operativa che ha per oggetto lo studio dei problemi di congestione che insorgono nello svolgimento di un servizio, che può essere prestato a uno o a un numero limitato di richiedenti per volta.
Questa teoria, che ha avuto inizio nei primi anni del XX sec. con le ricerche di A. K. Erlang sul traffico telefonico, è stata, in seguito, applicata anche a tutti gli altri fenomeni d’attesa. Ci sono code molto comuni, come quelle che coinvolgono persone o veicoli (automobili davanti ai semafori, navi davanti ai porti, aerei in attesa di atterrare) o anche macchine utensili (in attesa di essere riparate o in turno di manutenzione), ma ci sono code più nascoste, come per esempio una sequenza di comandi che aspettano di essere elaborati all'interno di un computer, oppure una serie di messaggi spediti via Internet che attende di arrivare a destinazione.
Le code si formano a causa del non perfetto bilanciamento tra il ritmo con cui si manifesta la domanda del servizio ed il ritmo con cui il servente riesce ad elargirlo: questo è tanto più vero quanto più i tempi in esame risultano affetti da una certa aleatorietà, e non sono quindi impostati deterministicamente su valori prefissati (o, più realisticamente, non e possibile farlo).
La Teoria delle Code verte sostanzialmente sull’analisi di modelli matematici rappresentativi del “sistema di attesa” i cui elementi essenziali sono: il processo di arrivo di coloro che richiedono il servizio (clienti), il meccanismo di servizio, la disciplina della fila d’attesa (cioè l’ordine in cui i clienti sono serviti) e il numero di coloro che prestano il sevizio (serventi). Si possono costruire tanti modelli quanti sono i sistemi di attesa che si presentano variando le condizioni dei loro elementi caratteristici. Tali modelli permettono di valutare le conseguenze delle diverse alternative al fine di rendere massima l’efficienza del servizio al minimo costo.
I modelli rappresentativi di sistemi a coda classici non prendono in considerazione, però, un altro aspetto della realtà delle file d’attesa che è quello del mancato successo di una domanda e, in particolare, del fatto che, dopo un tempo casuale, tale domanda verrà, quasi certamente, ripetuta. Un esempio molto semplice, ma altrettanto significativo, è costituito da un centralino telefonico: è noto a tutti che un utente telefonico che trova la linea occupata ripete la chiamata finché non ottiene la connessione richiesta. Non tener conto di questo fattore vuol dire lasciare irrisolti un numero di problemi molto importanti da un punto di vista pratico.
Una nuova classe di sistemi a coda, i sistemi con utenti ripetenti (o code con retrials) è stata introdotta per l’analisi di questi nuovi sistemi..
Questa categoria di code è caratterizzata dalla seguente peculiarità: un cliente che arrivi quando tutti i serventi a lui accessibili sono occupati, lascia l'area di servizio, ma dopo un tempo casuale ripete la domanda. Tale caratteristica gioca un ruolo speciale sia nel singolo computer che anche nelle reti di comunicazione. L’analisi di tali sistemi, però, presenta grandi difficoltà analitiche ed esistono risultati dettagliati solo per speciali code con retrials.
In questo lavoro viene studiato il sistema a coda Mk/Gk/1/r con retrial e flusso d’ingresso multidimensionale.
Nel capitolo 1 si introducono i sistemi a coda e si descrivono i parametri che li definiscono e gli indici di prestazione. In particolare vengono studiate e risolte particolari code con distribuzione dei tempi di servizio generale: M/G/1 ed M/G/1/r.
Nel capitolo 2 vengono presentati i sistemi a coda con retrial ed analizzati i principali sistemi a singolo servente come il sistema M/M/1/0 ed M/G/1/0.
Nel capitolo 3 viene studiato un sistema del tipo Mk/Gk/1/r/s che presenta la seguente caratteristica: un utente che trova tutti i posti occupati nell’area di attesa si unisce al gruppo di utenti nell’orbita (area di attesa immaginaria in cui si trovano virtualmente i clienti dopo un tentativo non riuscito) di capacità limitata per poi ritentare la sua richiesta di servizio. Un importante risultato raggiunto è che l’analisi di un tale sistema può essere ridotta all’analisi di in sistema a coda simile con un solo flusso di Poisson.
È stato implementato un algoritmo numerico in Matematica, con cui sono stati forniti risultati numerici e calcolati importanti indici di prestazione.