Logica matematica e informatica: dalla origine della scienza dei calcolatori alla tematica mente macchina

Scopo della tesi è quello di delineare l’influenza del lavoro teorico svolto da alcuni matematici e logici (Leibniz, Boole, Frege, Cantor, Hilbert, Gödel e Turing), sulla nascita degli odierni calcolatori. Si tratta di una serie di vicende umane e scientifiche estremamente interessante ed istruttiva che mette in luce come la ricerca “pura” possa nel lungo termine avere applicazioni assolutamente inaspettate. Leibniz sognò un linguaggio universale nel quale fosse esprimibile tutto lo scibile umano, ed un calcolo universale grazie al quale, semplicemente calcolando, fosse possibile decidere e dirimere tutte le questioni. Sulla scia del sogno di Leibniz, Boole individuò leggi (meccaniche) del ragionamento, che consentissero, a livello di calcolo delle proposizioni, di ragionare semplicemente calcolando. A Frege però si deve l’analisi e la sistematizzazione del calcolo dei predicati o logica del primo ordine, che ingloba come caso particolare il calcolo delle proposizioni di Boole. L’odierna formalizzazione del linguaggio logico con i quantificatori, simboli di funzione e simboli di predicati è dovuta interamente a Frege, il quale scoprì anche un insieme di regole di deduzione per il calcolo dei predicati, grazie alle quali il processo di derivazione di conclusioni a partire da premesse è del tutto meccanico. Cantor studiò il problema dell’infinito in matematica. Si inserisce in questa linea di pensiero per aver contribuito al dibattito sui fondamenti della matematica (uno dei punti più delicati a questo riguardo era appunto il problema dell’infinito in matematica, portato prepotentemente alla ribalta da Cantor) ed aver introdotto ed utilizzato il cosiddetto metodo diagonale nelle dimostrazioni matematiche, destinato ad avere un’importanza enorme nel lavoro successivo di Gödel e Turing.
Il lavoro logico di Boole, Frege e Cantor, cui si devono ovviamente aggiungere i contributi di altri logici molto importanti tra cui Peano e Russel, spianò la strada al dibattito filosofico sui fondamenti della matematica a cavallo tra la fine del XIX secolo e l’inizio del XX secolo. La scuola di Hilbert, tra i cui appartenenti ricordiamo in particolar modo Bernays, apporterà un grosso contributo alla logica matematica moderna (con Hilbert nasce la Teoria della dimostrazione) soprattutto mettendo in evidenza con la cosiddetta metamatematica la possibilità di studiare matematicamente un sistema rappresentante la stessa matematica. Il Programma di Hilbert aveva come scopo, per dirlo con le parole di Bernays, quello di trasferire i problemi e le difficoltà che si presentavano nella fondazione della matematica dal dominio filosofico-epistemologico a quello proprio della matematica attraverso
• un sistema di assiomi per la matematica, formalizzato al primo ordine, in cui grazie alle regole logiche di Boole e Frege si potessero dimostrare tutti gli enunciati veri della matematica (questa proprietà viene chiamata la proprietà di completezza del sistema);
• una dimostrazione finitista della consistenza del sistema all’ “interno” del sistema;
• un algoritmo per decidere, dato un enunciato, se questo sia dimostrabile oppure no nel nostro sistema (Hilbert chiamò questa parte del suo programma l’ Entscheidungsproblem, o problema della decisione).
Il Programma di Hilbert tenne occupati alcuni dei migliori logici dei primi tre decenni del XX secolo, tra cui von Neumann (notare che l'architettura dei più comuni personal computer è comunemente detta "di von Neumann"). Nei primi anni ’30 Gödel, con i suoi celebri Teoremi di Incompletezza, dimostrò che il Programma di Hilbert era destinato a fallire. Per un sistema matematico formalizzato al primo ordine consistente, esisterà sempre un enunciato vero che non si potrà dimostrare (Primo Teorema di Incompletezza di Gödel); inoltre non si può dimostrare all’interno di un tale sistema la sua consistenza (Secondo Teorema di Incompletezza di Gödel). Del Programma di Hilbert rimaneva ancora l’Entscheidungsproblem. È questo punto che subentra Turing. Turing analizza le nozioni di algoritmo e computazione e propone un modello di macchina macchina di Turing) che “calcoli” secondo tali caratteristiche essenziali. Risolvere negativamente l’Entscheidungsproblem si riduce quindi a dimostrare che per i sistemi matematici in cui formalizzare la matematica (sotto opportune ipotesi di consistenza) non esiste nessuna macchina di Turing in grado di decidere se un dato enunciato sia o no un teorema. Ed è quanto Turing fece nel famoso articolo On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem del 1936. Nell’ introdurre il suo modello di computazione, Turing si imbatte in un concetto assolutamente nuovo, quello di macchina universale. La macchina universale di Turing elimina sostanzialmente la distinzione tra software hardware e dati e tratta come dati il programma di una qualsiasi altra macchina di Turing. É la nascita del concetto di programma memorizzato, e di macchina all-purpose.