Trasformazioni geometriche e proprietà invarianti: i punti di vista di Klein e di von Staudt

- 2 - INTRODUZIONE Anche se si tratta di un argomento ben noto, ricordiamo l idea centrale del programma di Erlangen di Felix Klein. Un tipo di geometria Ł assegnato quando sono dati un insieme X (non vuoto) e un gruppo G di trasformazioni su X. Noti X e G, ci si propone di studiare le propriet dei sottoinsiemi di X, le quali sono invarianti rispetto alle trasformazioni di G. Spesso X Ł dotato di una struttura, che determina il gruppo G. Per esempio, se X Ł dotato della struttura di spazio topologico, Ł naturale assumere come G il gruppo degli omeomorfismi di X e chiamare topologiche le propriet dei sottoi nsiemi di X invarianti per gli omeomorfismi di G. Si noti che cos si inquadra nel programma di Erlangen lo s tudio di un singolo spazio topologico, non lo studio di tutti gli spazi topologici, cosa che si fa invece abitualmente in topologia generale. Anche assegnato uno spazio ambiente, ci si pu porre, per , oltre al problema indicato sopra, anche un problema leggermente diverso. Assegnamo ancora uno spazio topologico X; consideriamo tutti i suoi sottoinsiemi (non vuoti) e tutti i possibili omeomorfismi tra tali sottoinsiemi (non soltanto le restrizioni degli omeomorfismi dell intero spazio X). Gli omeomorfismi che consideriamo ora non formano piø gruppo; si pu parlare di un gruppoide di trasformazioni. Per le propriet di sottoinsiemi di X, abbiamo ora due tipi di invar ianza: 1) invarianza rispetto ai soli omeomorfismi di X; 2) invarianza rispetto a tutti gli omeomorfismi tra sottoinsiemi di X. La seconda invarianza implica la prima (tra gli omeomorfismi tra sottoinsiemi di X ci sono, in particolare, le restrizioni degli omeomorfismi di X), ma non viceversa. Per esempio, si pu considerare come X lo spazio euclideo tridim ensionale e come propriet quella di una curva chiusa semplice di essere annod ata (con linguaggio piø tecnico: la propriet di un nodo di essere intrecciato) . Si tratta di una propriet invariante nel primo senso, ma non nel secondo. Chiameremo punto di vista di Klein lo studio dell invarianza nel primo caso, punto di vista di von Staudt lo studio dell invarianza nel sec ondo. L uso di questo secondo termine Ł forse un po arbitrario: conviene precisare in quale senso sia stato adottato da alcuni autori, nell ambito della geometria proiettiva. Nel 1847, venticinque anni prima del programma di Erlangen , von St audt dimostr che, nel piano proiettivo reale, esiste una e una sola pr oiettivit tra due rette, che trasforma una terna ordinata di punti distinti della prima in una terna ordinata di punti distinti della seconda. ¨ stato poi dimostr ato: