Algebre gruppali e loro gruppo delle unità. La congettura di Hartley.

INTRODUZIONE Sia FG l’algebra gruppale di un gruppo G sul campo F e sia )(FGU il gruppo delle unità di FG . Uno degli obiettivi della teoria delle algebre gruppali è quello di mettere in relazione le proprietà del gruppo delle unità )(FGU di FG e le proprietà di FG . E’ facile vedere che in generale il gruppo )(FGU è molto più ampio di G. Infatti se G è un gruppo finito e 0 charF , per il teorema di Wedderburn, l’algebra gruppale si decompone nella somma diretta di anelli di matrici su corpi su F. Quindi in questo caso se G non è abeliano, )(FGU contiene una copia del gruppo generale lineare )( 2 FGL oppure un corpo D. In questa trattazione studieremo il problema di classificare i gruppi G tali che il gruppo delle unità della corrispondente algebra gruppale soddisfi una identità gruppale. Si ricordi che un’identità gruppale per un gruppo U è una parola non vuota di un gruppo libero di rango maggiore di 1 che è identicamente uguale a 1 quando è valutata in U . In quest’ambito, nei primi anni ’80 B. Hartley )19941939( pose una congettura che mette in relazione le identità gruppali di )(FGU con le identità polinomiali di FG . Si ricordi che se ⊥  n xxxF ,...,, 21 è l’algebra libera su F generata da n xxx ,...,, 21 , allora ⊥  nn xxxFxxxf ,...,,),...,,( 2121 è una identità polinomiale per un’algebra A se 0),...,,( 21 ζ n xxxf e se 0),...,,( 21 n aaaf , per ogni scelta di Aaaa n ,...,, 21 .