Il moto dei proiettili

Il proiettile nella figura è lanciato ad una velocità v0 che si può esprimere:                                           

v0=v0xi+v0yj
Conoscendo l'angolo θ0 fra v0 e il verso positivo dell'asse delle x, si possono ricavare le componenti v0x e v0y:                                        

 v0x=v0cosθ0       e       v0y=v0senθ0
Durante il suo moto in due dimensioni il vettore posizione r e il vettore velocità v del proiettile cambiano continuamente, ma il suo vettore accelerazione è costante e sempre diretto verso il basso. Il proiettile, inoltre, possiede accelerazione orizzontale nulla. Quindi affermando che nel moto del proiettile, il moto orizzontale e quello verticale sono indipendenti l'uno dall'altro, possiamo scindere questo problema di moto a due dimensioni in due distinti e più semplici problemi unidimensionali, uno di moto orizzontale (con accelerazione nulla) e l'altro di moto verticale (con accelerazione costante diretta verso il basso).

ANALISI DEL MOTO DEI PROIETTILI

Dal momento che l'accelerazione in direzione orizzontale è nulla, la componente orizzontale vx della velocità rimane invariata e pari a v0x durante tutto il moto. Lo spostamento orizzontale x-x0 dalla posizione iniziale x0 è determinato, come abbiamo già visto, in ogni istante t dall'equazione: x-x0=v0t+1/2at2, nella quale poniamo a=0 → x-x0=v0xt e sostituendo v0x con v0cosθ0:
x-x0=(v0cosθ0)t
Il moto verticale invece è quello che abbiamo esaminato per una particella in caduta libera. Siccome a vale -g e la variabile spaziale è y possiamo sostituire l'equazione x-x0=v0t+1/2at2 in:
y-y0=vgt-1/2gt2=(v0senθ0)t-1/2gt2
E di conseguenza le altre equazioni diventeranno:
v=v0+at →   vy=v0senθ0-gt
v2=v02+2a(x-x0)    →   vy2=(v0senθ0)2-2g(y-y0)
Ora possiamo inoltre trovare l'equazione del percorso del proiettile (la traettoria) sostituendo nell'equazione y-y0=vgt-1/2gt2=(v0senθ0)t-1/2gt2 alla variabile t la sua espressione ricavata dall'equazione x-x0=(v0cosθ0)t ed avremo:
y=(tanθ0)x-[(gx2)/2(v0cosθ0)2)]
Questa ultima equazione risulta sotto forma di y=ax+bx2, con a e b costanti. Si tratta dell'equazione di una parabola e quindi il percorso è parabolico. La gittata R del proiettile, invece, è la distanza orizzontale coperta dal proiettile all'istante in cui ripassa alla quota di partenza (quota di lancio). Per ricavarla poniamo x-x0=R nell'equazione x-x0=(v0cosθ0)t e y-y0=0 nell'equazione y-y0=(v0senθ0)t-1/2gt2 e avremo: R=(v0cosθ0)t  e  0=(v0senθ0)t-1/2gt2. Eliminando t fra queste due equazioni otteniamo: R=(2v02/g)senθ0cosθ0. Applicando l'identità sen(2θ0)=2senθ0cosθ0 si ottiene:                                                 R=(v02/g)sen(2θ0)
Si noti che la gittata orizzontale R è massima quando l'alzo (angolo di lancio) è di 45° (R nell'equazione precedente ha valore massimo per sen(2θ0)=1, che corrisponde a 2θ0=90° ovvero θ0=45°). N.B. In tutti questi casi abbiamo ammesso che l'aria nella quale il proiettile si muove non abbia alcun effetto sul suo movimento, ipotesi ragionevole a basse velocità, ma per alte velocità l'aria si oppone al moto.