Calori specifici molari per un gas perfetto

K=(3/2)kT. 

Un campione di n moli di tale gas contiene nNA molecole. 

L'energia interna Eint del campione è quindi
Eint = (nNA)K = (nNA)[(3/2)kT]
ovvero, poiché NAk=R:          
Eint = (3/2)nRT   (gas ideale monoatomico)

Vediamo dunque che l'energia interna Eint è una funzione solo della temperatura del gas, ed è indipendente da altre variabili. Con quest'ultima equazione ora possiamo ricavare un'espressione per il calore specifico molare di un gas ideale. In realtà deriviamo due espressioni, una per il caso in cui il volume del gas rimane costante mentre gli viene fornito calore e l'altra per il caso in cui la pressione rimane costante durante questo processo. I simboli per questi calori specifici molari sono rispettivamente CV e Cp. Pensiamo a n moli di gas ideale a pressione p e temperatura T racchiusi in un cilindro di volume V fisso. Supponiamo ora di fornire una piccola quantità di calore Q al gas, aumentando lentamente la temperatura della sorgente sulla quale poggia il cilindro. La temperatura del gas aumenta di una piccola quantità T+Δ, e la sua pressione a p+Δp, portando il gas allo stato finale “f”. 

In questo esperimento troviamo che il calore Q è legato alla variazione di temperatura ΔT da:                                                  
Q = nCVΔT   (volume costante)
dove CV rappresenta il calore specifico molare a volume costante. Sostituendo questa espressione per Q nella prima legge della termodinamica abbiamo:
ΔEint+L = nCVΔT  
Mantenendo costante il volume, L=0. Risolvendo quindi rispetto a CV otteniamo:
CV = ΔEint/nΔT
Dall'equazione Eint=(3/2)nRT vediamo che ΔEint/T=(3/2)nR, di modo che la variazione di energia interna diventa:                                       
ΔEint = (3/2)nRΔT
Sostituendo questo risultato nell'equazione CV=ΔEint/nΔT si ha:
CV = 3/2R = 12,5 J/(molxK)   (gas monoatomico)
A questo punto possiamo generalizzare l'equazione Eint = (3/2)nRT per l'energia interna di un gas ideale introducendo CV:           
Eint = nCVT   (gas ideale qualunque)
Quando un gas ideale confinato subisce una variazione di temperatura ΔT, allora sia dall'equazione CV = ΔEint/nΔT sia dalla precedente equazione possiamo indicare la variazione risultate della sua energia interna come:       
ΔEint = nCVΔT   (gas ideale, trasformazione qualunque)
Questa equazione si può interpretare come: la variazione di energia interna di un gas ideale confinato non dipende dal tipo di trasformazione che ha prodotto una variazione nella temperatura del gas, ma solo dall'entità di questa variazione.
Supponiamo ora che la temperatura del gas sia aumentata della stessa piccola quantità ΔT come in precedenza, ma che il calore Q sia aggiunto quando il gas è sottoposto a pressione costante. In questo esperimento troviamo che il calore Q è legato alla variazione di temperatura ΔT da:
Q = nCpΔT   (pressione costante)
dove Cp è il calore specifico molare a pressione costante e sarà maggiore del calore specifico molare a volume costante: l'energia deve essere fornita non solo per far crescere la temperatura, ma anche per compiere il lavoro esterno, cioè sollevare il pistone. Per correlare Cp e CV, partiamo dalla prima legge della termodinamica:                           
ΔEint = Q-L
sostituiamo poi ogni termine nell'equazione precedente. Per ΔEint, usiamo l'equazione ΔEint=nCVΔT. Per Q, ci serviamo dell'equazione Q=nCpΔT. Per sostituire L notiamo per prima cosa che, data la pressione costante, l'equazione L=p(Vf-Vi) = pΔV (trasformazione a pressione costante) stabilisce che L=pΔV. Utilizzando quindi l'equazione del gas perfetto (pV=nRT), possiamo scrivere:
L = pΔV = nRΔT
Effettuando queste sostituzioni nell'equazione ΔEint=Q-L, e quindi dividendo tutto per nΔT, troviamo:                                             
CV = Cp-R ovvero Cp = CV+R
gas monoatomico: CV=3/2R  CP=5/2R   γ=5/3    gas biatomico:  CV=5/2R   CP=7/2R   γ=7/5