Logica di Frege e paradosso di Russell

La logica di Frege nasce nel 1879 con l’Ideografia. Alla fine dell’introduzione, Frege presenta il quadrato aristotelico delle opposizioni nel nuovo linguaggio. Tale quadrato esprime le relazioni tra proposizioni: contrarie, non entrambe vere, subalterne, quelle in cui la verità della seconda dipende dalla verità della prima; contraddittorie, tali che se una è vera l’altra è falsa; subcontrarie, non entrambe false. Il sistema di Frege è completato nel 1893 con il primo volume dei Principi della aritmetica, che vuole dare una fondazione logica all’aritmetica definendo numeri e operazioni.

Nel 1903 Russell trova una contraddizione basata su un principio implicito del sistema di Frege, il principio di comprensione: data una proprietà relativa a classi, esiste la classe delle classi che godono di quella proprietà. L’argomento di Russell è: considerata la proprietà di non appartenere a se stessi, per il principio di comprensione esiste la classe delle classi che non appartengono a se stesse. Da quanto si ottiene si deriva la contraddizione: R    R -> R    R. La contraddizione di Russell segna l’inizio della discussione sui fondamenti della matematica.