I Polinomi di Laguerre in Teoria del Rischio

3 INTRODUZIONE In questa tesi ci occuperemo dei polinomi di Laguerre che sono ortogonali sull’intervallo [ 0; φ) rispetto alla funzione peso x exw )( . Quindi, dato un polinomio ortogonale 0...)( 0 1 10 1 xenconaxaxaxP n nn n consideriamo l’integrale esteso all’intervallo [a, b] ≥ b a mn dxxwxpxp )()()( [1] dove w(x) è la funzione peso. Se l’integrale [1] è nullo per mn ζ allora i polinomi p(0), p(1), p(2),…, p(n) si diranno ortogonali tra loro rispetto alla funzione peso w(x), relativa all’intervallo [a, b]. La denominazione ortogonale proviene dalla fisica; nel senso che, dati due vettori (nello spazio a tre vettori), ad esempio, ;,, )( 3 )( 2 )( 1 )( nnnn aaaa { G e )( 3 )( 2 )( 1 )( ,, mmmm aaaa { G ; si dicono ortogonali se il loro prodotto interno 0 )( 3 )( 3 )( 2 )( 2 )( 1 )( 1 )()( υ mnmnmnnm aaaaaaaa GG [2] per cui, passando dal discreto al continuo, si trova una profonda analogia con )(xP n . È il caso di aggiungere che nello spazio euclideo sia )(n a G e )(m a G che la somma [2] appartengono a due rette ortogonali.