Analisi di statistica multivariata

1 ANALISI DELLE COMPONENTI PRINCIPALI Introduzione L’Analisi delle Componenti Principali (ACP) assieme all’Analisi delle Corrispondenze ed all’Analisi delle Correlazioni Canoniche fa parte di quelli che sono chiamati i METODI FATTORIALI, i quali hanno l’obiettivo di analizzare le variabili che caratterizzano la struttura interna di un sistema. In particolare, l’ACP è una metodologia statistica che partendo da una matrice di dati di dimensioni nxp con variabili tutte quantitative, consente di sostituire alle p variabili (fra loro correlate) un nuovo insieme di variabili, chiamate Componenti Principali (CP), tra loro incorrelate (ortogonali) ed elencate in ordine decrescente della loro varianza. In altre parole, l’obiettivo dell’ACP è quello di ridurre lo spazio p- dimensionale (RP), su cui sono definite le n unità statistiche, ad uno spazio m-dimensionale (Rm) con m<p, al fine di ridimensionare il problema statistico che stiamo osservando. Cosa sono le Componenti Principali. Sia x = (x1,….., xp)’ una variabile casuale p-pla con vettore delle medie µ e matrice delle varianze e covarianze ∑ semidefinita positiva. Siano ��1 ≥ ��2 ≥…≥ ���� gli autovalori di ∑ e Λ la matrice diagonale �� = �������� ��1 ,… , ���� e �� la matrice ortogonale degli autovettori standardizzati; cioè �� = �� 1 ,… , �� �� con Γ’ Γ = I Si definisce, allora, trasformazione in Componenti Principali del vettore x il vettore