La Congettura di Keplero

Introduzione La tesi ripercorre le fasi principali della risoluzione di un problema originariamente proposto da Keplero (1611) e denitivamente risolto solo nel 1998 da Thomas Hales. Si tratta del cos detto problema dell’ \impacchettamento delle sfere", nel quale si chiede di determinare quale sia il modo pi u eciente di imballare sfere tutte uguali in un dato contenitore. La trattazione inizia facendo riferimento alla congettura di Keplero, formulata dalla stesso nel 1611; in particolare si analizzano le cos dette disposizioni a reticolo, fornendo una denizione di densit a di un impacchettamento. In seguito, si analizza il problema nel caso bidimensionale e tridimensionale. Per n = 2, si fornisce la misura della densit a della migliore disposizione di cerchi nel piano, attraverso il calcolo del determinante del reticolo esagonale, che risulta essere, appunto, la disposizione pi u eciente. Per n = 3, si analizzano i tre tipi di impacchettamenti periodici: cubico semplice, cubico a facce centrate, esagonale, con il relativo calcolo della den- sit a eettuato per via geometrica e si costruisce il reticolo pi u denso nello spazio tridimensionale euclideo. Avanzando nella trattazione, si entra nel vivo della questione evidenziando le mag- giori dicolt a riscontrate, prima fra tutte, l’esistenza di impacchettamenti irregolari. Questi, infatti, sono dicili da classicare e da isolare. Sebbene il matematico ungherese L aszl o Fejes T oth abbia scoperto che le congurazioni irregolari siano in numero nito, prima di avere una dimostrazione soddisfacente della congettura, abbiamo dovuto aspettare no al 1998. In questo arco di tempo ci sono stati svariati tentativi da parte di molti studiosi, ma, purtroppo, sono risultati essere fallimentari, inconcludenti, o incompleti. Thomas Hales (Michigan University) ha ripreso l’idea di T oth e ha fornito una dimostrazione per esaustione, creando un programma in grado di calcolre la densit a di ogni disposizione irregolare. La sua dimostrazione consiste di 250 pagine. A tutt’ora non e stato possibile vericare al 100% la correttezza della dimostrazione di Hales in quanto la parte relativa ai calcoli e frutto di un’elaborazione elettronica, tuttavia lo stesso Hales e promotore del \Flyspeck project" un progetto che vede l’utilizzo di un software in grado di controllare ogni passo della dimostrazione. Sfortunatamente, questo progetto coin- volge centinaia di pesone e si stima che impiegher a un tempo di circa venti anni per portare a termine il suo compito. Inne, nell’ultima parte, si accenna al problema in dimensione n fornendo alcuni esempi di 2