Tecniche di trattamento del selection bias in campioni censurati

Nell'ambito della teoria statistica si individuano due filoni fondamentali e spesso contrapposti, quello bayesiano e quello classico. In questa tesi si è fatto un confronto fra i due aspetti in relazione al trattamento di dati censurati.
Lo spunto per il confronto è un esempio i cui dati sono stati trattati nei due modi secondo certi modelli e algoritmi. Si è visto che in certi casi i risultati coincidono mentre in altri ciò non avviene, quindi non si può dire a priori che le due teorie portano alle stesse conclusioni, anzi spesso i risultati coincidono in casi inaspettati, e non coincidono quando invece ci si aspetta che ciò possa più facilmente accadere. Bisogna ricordare che il caso in esame è didattico, nel senso che tutto è noto dei dati e che le ipotesi distributive che si fanno su essi sono standard, verificabili, cioè possono essere elaborati tenendo conto solo della natura del fenomeno descritto, che genera dati censurati, e quindi i modelli usati sono specifici per dati che hanno queste caratteristiche.
Nell'ambito bayesiano è opportuno ricordare che sebbene gli economisti abbiano ormai da tempo riconosciuto il peso del fattore incertezza e l'influenza che essa ha sulle decisioni di comportamento economico, i problemi rappresentati dalla difficoltà di definire modelli formali efficaci per descrivere i fenomeni economici in cui interviene l'incertezza come fattore determinante delle scelte operative hanno fortemente limitato il successo dei tentativi in questo campo. I decenni passati hanno visto tuttavia un consistente sviluppo dell'analisi economica in condizioni di incertezza e in un suo ramo: l'economia dell'informazione; è in questo ultimo campo che si è ottenuto lo sviluppo più evidente proprio grazie all'applicazione di modelli e tecniche fondati sulla teoria bayesiana.
Il modo di affrontare l'analisi dei fenomeni secondo le due teorie è sostanzialmente differente perché il punto di partenza è opposto: per i classici il parametro oggetto di studio è visto come una costante incognita sulla quale non è possibile costruire una distribuzione di probabilità, per i bayesiani, invece, come una variabile casuale sulla quale è definita una densità di probabilità. Questa diversità condiziona strumenti, ipotesi e risultati.
Alla base della teoria classica c'è la verosimiglianza del campione individuata dalla funzione di distribuzione della n-upla della variabile aleatoria campionaria, la dipendenza dal parametro non è di tipo stocastico e il termine d'errore nella tecnica dei minimi quadrati è distribuito normalmente e non autocorrelato. L'analisi econometrica ha approntato degli strumenti che, basandosi su tale teoria, possono risolvere problemi più specifici e complessi anche quando non sono rispettate tutte le ipotesi tipiche (per esempio la non normalità oppure l'autocorrelazione degli errori). Un caso è il problema affrontato qui cioè l'analisi di dati censurati tramite i modelli tobit.
L'approccio bayesiano suppone che le probabilità non siano fissate, ma vincolate allo stato dell'informazione disponibile, esse rappresentano il confronto di eventi relativamente alla loro credibilità, quindi sono viste con un'ottica strettamente soggettiva. Il teorema di Bayes mostra come l'opinione iniziale e l'informazione disponibile su un dato evento possono modificare le probabilità che l'evento stesso si realizzi. Questi due aspetti non trovano spazio nell'approccio classico.
E' prevista una distribuzione "a priori" p( ) sul parametro che rispecchia l'opinione che se ne ha fino a quel momento, questa viene aggiornata, grazie al teorema di Bayes, usando la verosimiglianza del campione p(Y).
Nell'ambito di questo lavoro è proprio la presenza di dati censurati che costituisce l'informazione a priori su cui basare l'aggiornamento. Un'osservazione che si può fare è che se si dà luogo ad una equiripartizione rettangolare delle probabilità a priori allora aggiornamento e verosimiglianza coincidono.