Metodi “Kernel” per la stima della densità di una popolazione biologica nel campionamento “Line Transect”

La branca della statistica che si occupa della stima della densità D, della dimensione N e del tasso d’incremento (o decremento) λ della popolazione biologica prende il nome di ecologia statistica.
Esistono vari metodi di campionamento per stimare questi parametri, i principali sono: campionamento per quadrati, campionamento per strisce, transetto lineare e transetto puntuale.
Questa tesi tratta essenzialmente il metodo del transetto lineare.
Si considera un transetto di lunghezza L disposto in modo casuale su un’area; il ricercatore camminando lungo il percorso deve essere in grado di osservare gli oggetti e calcolarne le distanze perpendicolari xi tra gli oggetti (animali, piante, …) e il transetto.
• In questo metodo di campionamento un elemento fondamentale è la funzione d’avvistamento g(x).
Siano n la numerosità della popolazione avvistata e f(0) la funzione di densità della distanza dal transetto in x = 0, si può scrivere la stima della densità come:
D= [n*f(0)]/(2*L)
Un problema centrale in ecologia statistica consiste nel valutare se nello studio d’interesse vale la shoulder condition.
Per conoscere ciò occorre verificare che g(0) sia uguale a 1, che la funzione g(x), ovvero la probabilità di osservare un oggetto ad una certa distanza x perpendicolare, decresca con l’aumentare della distanza e che g’(0+) = 0.
Prima di tutto occorre verificare, tramite opportuni test, se sussiste tale condizione conducendo una verifica d’ipotesi.
Partendo da:
g(x) = exp(- ax2 - bx), con a,b ≥0 (2)
si saggia la presenza della shoulder condition considerando queste due ipotesi:
H0: b = 0 (g(x) diventa una semi-normale  è soddisfatta la condizione di shoulder)
H1: a = 0 (g(x) diventa un’esponenziale negativa  non è soddisfatta la condizione
di shoulder)
I principali test sono:
• Il test di Mack (1998), è il primo test non parametrico, ma è poco utilizzato in quanto ha scarsissima potenza.
• Il test di Zhang (2003), anch’esso è un test non parametrico, aumenta la potenza rispetto al precedente, ma non è ancora soddisfacente.
• Il test di Zhang (2001), è il più utilizzato in quanto ha buona potenza e, a differenza dei primi due, è di tipo parametrico.
Ovviamente in un approccio non parametrico sarebbe privilegiato l’utilizzo di test dello stesso tipo, ma a causa della scarsa potenza si preferisce il test di Zhang (2001) che oltretutto è uniformemente più potente tra gli invarianti per cambiamenti di scala.
In anni recenti sono stati creati stimatori suggeriti nel caso in cui sussiste la shoulder condition, tra i quali:
• Stimatore kernel gaussiano;
• Stimatore kernel di Eidous (2005): è lo stimatore più recente presente in letteratura.
Mentre nel caso non si verifichi l’ipotesi nulla (ovvero non è verificata la shoulder condition) si hanno:
• Stimatore kernel di Zhang (1999)
• Stimatore kernel di Eidous (2005): è quello visto nel caso di presenza di shoulder condition ma opportunamente pesato utilizzando Z, ovvero i valori della statistica test di Zhang (2001).
Vi sono, infine, alcuni stimatori dove si cambia solo il valore della finestra di lisciamento h a seconda che sia verificata o meno la shoulder condition:
• Stimatore kernel di Zhang e Karunamuni
• Stimatore kernel di Muller
Con il programma statistico R 2.3.1 è stata condotta una simulazione per poter confrontare le formule sopra-citate.
Operando fino a 20000 repliche, sia partendo da una funzione d’avvistamento seminormale (tipica della presenza di shoulder condition) sia con un’esponenziale negativa (per l’assenza di shoulder), si è notato che non esiste uno stimatore non parametrico perfetto per f(0), e quindi per la densità, per entrambe le funzioni.
Quello che si adatta meglio è il kernel gaussiano che però ha un’alta variabilità.
Rimanendo nel campo non parametrico, allora, è consigliabile procedere nel seguente modo: fare inizialmente un test (quello di Zhang è il più potente quindi è consigliato), se è verificata l’ipotesi nulla (presenza di shoulder) il miglior stimatore possibile per f(0) è quello di Eidous (versione proposta in presenza di shoulder), in caso contrario è indifferente la scelta tra Zhang-Karunamuni o Eidous (seconda versione).
Grazie alla simulazione si può capire quanto è difficile la scelta del parametro di lisciamento h, poiché vi è un trade-off tra varianza e distorsione.