Studio di processi di diffusione su grafi deterministici scale-free

L'obbiettivo principale di questo lavoro consiste nello studio di processi di diffusione su un network disomogeneo, costruito con una regola gerarchica deterministica. Questo grafo riproduce alcune caratteristiche metriche e topologiche che sono state osservate nelle reti di comunicazione, nelle reti biologiche e sociali reali, quali le proprietà "scale free" e "small world". E' quindi estremamente interessante studiare i processi di diffusione su queste reti e cercare di identificare quali sono le caratteristiche metriche e topologiche che influenzano e migliorano la diffusione, ad esempio, dell'informazione. Il modello usato per la diffusione è quello di un random walk semplice. Molto spesso questi processi sono studiati utilizzando modelli di grafi random che pero' sono difficili da controllare matematicamente. L'analisi di un grafo costruito con una regola deterministica permette invece di ottenere risultati esatti e di verificare se questi corrispondono a quanto previsto dai modelli random. Inoltre, dato che tutte queste reti sono molto disomogenee, nei modelli deterministici è possibile analizzare in dettaglio come le proprietà di diffusione dipendono dal punto di partenza e di arrivo. I risultati ottenuti in questa tesi indicano infatti che, per questo tipo di reti, mentre la diffusione tra siti specifici può essere molto veloce, nella media la struttura non è affatto efficiente.

In particolare, a causa della grande disomogeneità della struttura, il tempo di primo passaggio (FPT) dal sito piu' connesso (main hub) ad una shell di siti esterni detti foglie è legato al volume $V_{g}$ del grafo da una legge a potenza $V_{g}^{-\gamma}$ con uno tra gli esponenti ($\gamma = \frac{log2}{log3}=0.37$) pi\`u piccoli presenti in letteratura, il che sottolinea la grande efficienza in questa direzione. D'altra parte questa efficienza è sbilanciata: il tempo di assorbimento mediato su tutti i siti e su tutti i cammini cresce con una legge a potenza con esponente molto maggiore ($\gamma =1.1$). Il tempo di assorbimento alle foglie e il tempo d'assorbimento con trappole poste nel main hub e nelle foglie hanno un comportamento asintotico identico al FPT main hub-foglie. Ancora analiticamente si è ricavato il FTP dall'hub di una generazione $g-n$ alle foglie della generazione $g-n-1$: al comportamento asintotico precedente si è affiancato un termine correttivo $2^{\frac{n}{2}}$ che indica la riduzione dell'efficienza dei fenomeni di diffusione appena ci si allontana dai cammini più favoriti. Il tempo d'assorbimento ai siti più lontani dall'hub è stato calcolato con tecniche numeriche ma in futuro dovrebbe essere calcolabile analiticamente. Ciò appare non troppo complicato a partire dai risultati esposti in questo lavoro e permetterebbe di avere un quadro quasi completo della diffusione su questo grafo.