Soluzione numerica dell'equazione biarmonica per una lastra elastica: figure di Chladni

In questo lavoro si è affrontato il problema dei modi di vibrazione in una lastra elastica non vincolata di forma quadrata e rettangolare, che è equivalente a risolvere l’equazione agli autovalori dell’operatore biarmonico nel dominio considerato.
Nel primo capitolo sono ricavate le condizioni di equilibrio in un corpo solido, che si possono esprimere tramite l’equazione biarmonica come formulò per la prima volta Kirchhoff nel 1850.
La risoluzione viene effettuata numericamente tramite un algoritmo iterativo che si basa su una variante del metodo delle potenze. Esso permette di determinare gli autovalori e le autofunzioni dell’equazione. Nell’algoritmo, l’equazione biarmonica viene integrata con un particolare tipo di trasformata di Fourier discreta, utile nel caso di condizioni al contorno omogenee.
Parallelamente allo studio teorico, vengono ricavate sperimentalmente alcune figure dei nodi delle autofunzioni, chiamate figure di Chladni, in una tavola rettangolare non vincolata con un piccolo apparato sperimentale composto da una tavola di legno e da un piccolo altoparlante collegato ad un generatore di frequenze. Sopra la tavola vengono cosparse delle piccole foglie di the che, al variare della frequenza che stimola la vibrazione della tavola, si dispongono in modo da formare le figure di Chladni.
Nel confronto dei dati, si è osservata una buona correlazione tra le figure ottenute sperimentalmente e le linee nodali delle autofunzioni calcolate numericamente, tenendo conto delle approssimazioni fatte per descrivere l’esperimento con il modello usato. Infine, vengono considerati i rapporti tra la k-esima autofrequenza e la fondamentale, sia per le frequenze ottenute numericamente, che per quelle sperimentali relative alle figure che hanno prodotto. Dal confronto di questi due rapporti si evince anche in questo caso una discreta correlazione, che dimostra la fondatezza del metodo utilizzato per descrivere i modi di vibrazione di una lastra rettangolare non vincolata.