Omologia simpliciale lp per complessi simpliciali non compatti

Il lavoro che presentiamo è un contributo alla teoria omologica lp. La (co)omologia simpliciale lp, e più in generale le (co)omologie originate da complessi di spazi di Banach, sono oggetto di una vasta ricerca e si concretizzano in una quantità notevole di applicazioni.
Consideriamo ad esempio due alberi infiniti. Omotopicamente, essi sono indistinguibili poiché entrambi spazi contraibili. La teoria omologica simpliciale classica non può che ratificare questa indistinguibilità.
Tuttavia, è ben noto che dal punto di vista geometrico, così come dal punto di vista dell'analisi (intimamente legato a quello geometrico), i due alberi possono risultare profondamente diversi. In particolare, consideriamo X un albero trivalente ed Y un albero bivalente, i.e., il grado dei vertici è costantemente uguale a 3 per X e a 2 per Y.
L'albero Y manifesta una natura genuinamente Euclidea (di una retta) mentre l'albero X ha le caratteristiche di uno spazio iperbolico. La distinzione tra i due alberi si fonda principalmente su "caratteristiche all'infinito" degli spazi. Questo può suggerire che, in ambito non compatto, una teoria (co)omologica che riesca a rendere conto di queste differenze debba avere una natura "globale", i.e., le sue (co)catene devono poter coinvolgere (co)simplessi elementari arbitrariamente lontani. Questo è ciò che accade per la teoria simpliciale lp, la più naturale tra le generalizzazioni della teoria simpliciale classica.
Le applicazioni di tale generalizzazione spaziano dalla topologia alla teoria geometrica dei gruppi nello spirito di M. Gromov. Segnaliamo che i primi germogli di una teoria simpliciale lp si possono trovare in un articolo di H. Garland del 1973 dedicato allo studio di reticoli in gruppi p-adici. Pochi anni più tardi, è J. Dodziuk ad introdurre in modo più organico una teoria (co)omologica simplicale (ridotta) l2, in relazione ad un problema di M. Atiyah sull'interpretazione topologica dei numeri di Betti L2 di rivestimenti cocompatti. In quest'ambito, Dodziuk stabilisce un isomorfismo di tipo de-Rham, che verrà poi esteso da Goldshtein-Kuzminov-Shvedov al caso lp non ridotto in modo definitivo e altamente non banale.

Al meglio della nostra conoscenza, non esiste in letteratura una trattazione sistematica della teoria simpliciale lp. Spesso, aspetti che coinvolgono anche i fondamenti di questa teoria risultano solo enunciati e, talvolta, assunti come folklore. In questo quadro, l'obiettivo principale del nostro lavoro è quello di entrare nei dettagli della costruzione della teoria omologico-simpliciale lp enfatizzando gli aspetti combinatori ed estendendo, ove possibile, i risultati noti. Il lavoro è organizzato nel seguente modo.

Nel primo capitolo abbiamo introdotto il concetto di complesso simpliciale a geometria limitata (BG-complesso), fissando così i limiti all'interno dei quali risulti ragionevole definire una teoria lp. Per un BG-complesso simpliciale K viene definito il complesso (di Banach) delle catene lp e le susseguenti omologie ridotta e non ridotta, mostrando esplicitamente come esse consentano, tra le altre cose, di distinguere gli alberi X ed Y menzionati più sopra. Particolare attenzione è stata rivolta alla descrizione della topologia degli spazi vettoriali di omologia lp, attribuendo particolare enfasi alla continuità degli operatori tra essi definiti.

Il secondo capitolo, ispirato ad un'affermazione di Gromov, affronta lo studio di un'invarianza combinatoria dell'omologia simpliciale lp.
Dopo aver introdotto il concetto di mappe simpliciali a geometria limitata (BG-mappe simpliciali) e studiato gli operatori indotti in omologia, viene proposta una definizione di omotopia simpliciale a geometria limitata sfruttando la costruzione del prisma sopra un BG complesso. Sulla base di una costruzione classica in ambito compatto, si prova che BG mappe simpliciali che siano BG simplicialmente omotopiche inducono lo stesso operatore continuo a livello di spazi di omologia.

Il terzo capitolo, dedicato alle azioni simpliciali di gruppi discreti su complessi infiniti, mette in luce alcuni legami tra le proprietà dell'azione e quelle del complesso simpliciale soggiacente. In particolare, nell'ambito delle azioni regolari (nel senso di G. E. Bredon), vengono studiate condizioni sotto le quali complessi e mappe simpliciali equivarianti risultino a geometria limitata.

Nel quarto capitolo ci si è occupati delle suddivisioni di complessi simpliciali infiniti. Dopo aver introdotto alcune tecniche classiche di suddivisione, viene dimostrato che una suddivisione di un BG-complesso simpliciale, sotto opportune restrizioni, non altera gli spazi di omologia lp. Come corollario si deduce che, in virtù di un'osservazione di Bredon, l'ipotesi tecnica di regolarità dell'azione, usata nel terzo capitolo, non è affatto restrittiva.