Le Funzioni Meromorfe e la teoria di Nevanlinna

In questa tesi, dopo alcune considerazioni sulle funzioni analitiche uniformi con singolarità isolate (Cap.1), si presentano - nelle loro linee essenziali – i fondamenti della teoria di Nevanlinna.
Nevanlinna, partendo dalla formula di Jensen e introducendo alcune notazioni, che semplificano le scritture, è riuscito a stabilire per le funzioni meromorfe alcuni risultati fondamentali, sui quali si base la moderna teoria delle funzioni meromorfe sviluppata da Ahlfors, Shimizu, Milloux, Tumura, Clunie e Gold’berg, per citare i principali.
Una significativa conseguenza della teoria è l'immediata estensione del famoso teorema di Picard alle funzioni meromorfe, grazie alla quale si può, allora, affermare che ogni funzione meromorfa assume ogni valore complesso, finito o infinito, salvo al più due valori.
Nevanlinna ha introdotto due funzioni fondamentali, N(r,a) e m(r,a), relative ad una assegnata funzione meromorfa f(z), in corrispondenza di un fissato valore complesso a.
La prima funzione é legata alla densità delle radici dell’equazione f(z)=a nel cerchio |z|La seconda, invece, all'intensità della sua convergenza in media.
Secondo una locuzione di Nevanlinna, possiamo esprimere ciò dicendo che f(z) converge mediamente al valore a per |z| che tende all'infinito; la funzione m(r,a) esprime allora l’intensità della convergenza media di f(z) al valore a.
Orbene il primo teorema fondamentale di Nevanlinna è il seguente:
Per ogni funzione meromorfa f(z) e per ogni numero complesso a, finito o non, esiste una funzione T(r,f), indipendente da a, per la quale si ha:
T(r,f)=m(r,a) + N(r,a) + O(1) per r che tende all'infinito.
La somma m(r,a)+N(r,a) si dice che rappresenta “la affinità totale" di f(z) al valore a.
Il teorema di Nevanlinna afferma che essa, per ogni funzione meromorfa, a meno di una quantità che si mantiene limitata uniformemente rispetto ad a, è indipendente da a; ciò implica che la densità delle radici dell’equazione f(z)=a e l'intensità della convergenza media di f(z) a tale valore, per |z| che tende all'infinito, si compensano; in particolare se a è un valore assunto raramente dalla funzione ( es. un numero finito di volte), ciò sarà compensato da una rapida convergenza media di f(z) ad esso.
Un utile esempio a tal proposito è fornito dalla funzione esponenziale f(z)=esp(z) e a=zero o a=infinito.
Per f(z) i valori zero ed infinito sono eccezionali, cioè mai assunti, ma, quando si fa tendere z all'infinito lungo i semiassi negativo e positivo rispettivamente, f(z) converge a tali valori esponenzialmente.
Completiamo l’illustrazione di questo teorema osservando, con Nevanlinna, che grazie ad esso nessun valore complesso a è eccezionale per una funzione meromorfa se accanto alla distribuzione delle radici dell’equazione f(z)=a si tiene conto anche della rapidità della convergenza media di f(z) ad a.
Questi concetti basilari della teoria di Nevanlinna sono esposti nel secondo capitolo.
Nello stesso capitolo, dopo la definizione di ordine di una funzione meromorfa, si dà un ulteriore importante risultato della teoria, cioè la rappresentazione canonica di una funzione meromorfa come prodotto infinito in termini dei suoi zeri e poli, a meno di un termine della forma esp(P(z)), con P(z) polinomio.
Nel terzo capitolo viene poi dimostrato il secondo teorema fondamentale di Nevanlinna, grazie al quale si può asserire che la somma delle funzioni m(r,an), relative ad n(≥3) valori ( finiti o non) distinti a1,a2,. . . . . . an, non supera mai 2T(r,f).
Si conclude così il capitolo dando la preannunciata estensione del già citato teorema di Picard alle funzioni meromorfe.