Le copule: una misura della dipendenza tra variabili aleatorie

In statistica, una copula è una funzione che viene utilizzata per caratterizzare una distribuzione multivariata, in modo da descrivere i vari tipi di dipendenza tra variabili aleatorie.
L'approccio alla formulazione di una distribuzione multivariata utilizzando una copula si basa sull'idea che una semplice trasformazione può essere composta da variabili marginali e che ogni variabile marginale abbia una propria distribuzione uniforme. La struttura di dipendenza può essere poi espressa come una distribuzione multivariata sulle distribuzioni uniformi ottenute.
Tramite la copula è possibile studiare le funzioni di ripartizione congiunte analizzando separatamente la struttura di dipendenza e le distribuzioni marginali dei dati.
Quando la copula è applicata in un contesto pratico, le trasformazioni possono essere usate come un primo passo per studiare ciascuna delle marginali, oppure i parametri delle trasformazioni possono essere usati in comune con quelli della copula. Vi sono molte famiglie di copule che si differenziano per il dettaglio della dipendenza che esse rappresentano.
Un uso tipico delle copule è quello di scegliere un tipo di famiglia ed utilizzarla per definire la distribuzione multivariata. Inoltre è possibile determinare la copula corrispondente ad ogni data distribuzione multivariata.
Si considerano due variabili aleatorie X e Y con funzioni di distribuzione continue
FX e FY; la trasformazione integrale può essere applicata alle due variabili aleatorie per definire X' = FX(X) e Y' = FY(X); ne segue che X' e Y' hanno entrambe distribuzione uniforme ma in generale dipendono da X e Y.
Con X' e Y' variabili aleatorie uniformi il problema resta quello di specificare una distribuzione bi-variata tra due variabili ed è a questo che serve la funzione copula. L'idea è quella di considerare una molteplicità di diverse distribuzioni marginali, riconducendo poi la variabile marginale alle uniformi, quindi bisogna specificare la dipendenza come una distribuzione multivariata sulle variabili aleatorie indipendenti.
Prima di addentrarci nello specifico della funzione copula è necessario fare riferimento alle variabili aleatorie e alle diverse famiglie di variabili aleatorie.
Nel primo capitolo di questa tesi viene data la definizione di variabile aleatoria, sia nel caso discreto che continuo, e vengono analizzate le famiglie di variabili aleatorie in entrambi i casi. Vengono poi definite la media e la varianza come indici di dimensione e di dispersione, rispettivamente, fondamentali per uno studio accurato del comportamento delle variabili aleatorie in considerazione. Il capitolo si conclude con la definizione delle variabili aleatorie congiunte base della funzione copula.
Il secondo capitolo inizia riprendendo le basi della distribuzione congiunta prima di culminare nella definizione di funzione copula. Tale definizione viene data riportando il teorema di Sklar, perno principale di tale funzione; sia nel caso bi-dimensionale che n-dimensionale, descrivendo le conseguenze che scaturiscono da tale teorema.
Vengono infine definite le misure di dipendenza, concordanza e correlazione a cui si fa riferimento per lo studio completo di tali funzioni.
Nel terzo capitolo vengono presentate le famiglie di copule di uso comune divise in due classi: copule ellittiche e copule non ellittiche. Per le copule ellittiche vengono presentate la copula Farlie Gumbel Morgenster, la copula gaussiana e la T-Student, per la classe di copule non ellittiche viene in particolare analizzata la famiglia di copule archimedee.
Nell'ultimo capitolo vengono descritti alcuni metodi che è possibile utilizzare per costruire una funzione copula e viene discusso, brevemente, il metodo di estensione multivariata delle copule ed i problemi che si incontrano in tale estensione.