Grafi dei divisori dello zero associati ad anelli commutativi unitari

L'origine storica della teoria dei grafi è generalmente fatta risalire ad un lavoro sviluppato dal celebre matematico svizzero Eulero nel 1736. Il suo lavoro conteneva la soluzione del famoso quesito matematico noto come "problema dei ponti di Königsberg".

Königsberg, oggi chiamata Kaliningrad, è una città percorsa dal fiume Pregel e dai suoi affluenti. Presenta due estese isole che sono connesse tra loro e con le due principali aree della città da 7 ponti. Gli abitanti si chiedevano spesso se fosse possibile fare una passeggiata iniziando da un punto qualsiasi della città, per poi attraversare ogni ponte una e una sola volta e ritornare infine al punto di partenza.

Eulero riformulò il problema in termini di teoria di grafi rimpiazzando ogni area urbana con un punto, chiamato nodo, e ogni ponte con un segmento di linea, chiamato arco.
Lui disse e mostrò il seguente enunciato:
"È possibile percorrere tutti gli archi una e una sola volta, concludendo il percorso nel nodo iniziale, se e soltanto se esce un numero pari di archi da tutti i nodi del grafo".

Da ciò si nota subito l'impossibilità della risoluzione del problema una volta osservato che il grado dei quattro nodi è dispari.
Scopo di questa tesi è unire i concetti della teoria dei grafi con quelli dell'algebra commutativa, mostrando come ad ogni anello commutativo unitario R è possibile associare un grafo Γ(R) chiamato grafo dei divisori dello zero di R.

Nel primo capitolo parleremo delle proprietà di questi grafi mostrando sotto quali ipotesi Γ(R) risulti essere un grafo bipartito, completo o a stella.

Nel secondo capitolo daremo la definizione di automorfismo di un grafo e, per ogni Γ(R), analizzeremo il suo gruppo di automorfismi.

Nel terzo capitolo, infine, ci occuperemo della colorazione di un grafo ovvero di un'assegnazione di colori agli elementi di un grafo soggetta a determinati vincoli, mostrando come, in molti casi, il numero cromatico di un grafo coincida con il suo numero di cricca.

In particolare analizzeremo il caso di ℤn e i corrispondenti grafi dei divisori dello zero Γ(ℤn).