Gli integrali di cammino di Feynman - Sviluppo e applicazioni

1 Introduzione Accanto alle formulazioni tradizionali della meccanica quantistica, quella operatoriale di Heisenberg e quella differenziale di Schroedinger, ne esiste una terza delineata da Richard P. Feynman nel 1947, allora studente di dottorato presso il Prof. J. A. Wheeler. Questa ”terza via” della meccanica quantistica, matematicamente equivalente alle altre, assume come elemento centrale l’azione classica di un sistema quantistico. A riprova della validita` di questo assunto, e` possibile ricavare da esso come conseguenze l’equazione di Schroedinger e il principio di minima azione. La necessita` di studiare i problemi quantistici sotto una luce diversa da quanto era stato fatto fino ad allora era originata dalla difficolta` che Feyn- man aveva riscontrato nel formulare una teoria quantistica del campo elet- tromagnetico. La meccanica quantistica nella forma data da Schroedinger e Heisenberg presuppone una rappresentazione hamiltoniana del sistema in questione, descritto quindi da variabili di posizione e impulso. Queste os- servabili diventano, nel passaggio dal mondo classico a quello quantistico, operatori differenziali. Se il sistema viene descritto da funzioni d’onda pro- iettate sulla base delle coordinate, l’operatore impulso viene scritto in forma differenziale nella consueta forma: p = −ih¯∇ Il problema che impedisce la descrizione del campo elettromagnetico attraverso questo formalismo e` il fatto che non e` possibile trovare il mo- mento canonico coniugato alla componente A0 del quadripotenziale. Di conseguenza, la rappresentazione hamiltoniana non e` piu` applicabile. Per aggirare l’ostacolo Feynman cerco` una formulazione lagrangiana del- la meccanica quantistica, nella quale l’impulso non figurasse. La soluzione gli venne presentata da Herbert Jehle, il quale gli mostro` un articolo di Dirac nel quale questi stabiliva l’analogia fra una funzione dipendente dalla lagrangiana e un nucleo integrale, o kernel, che evolve la funzione d’onda da un istante t a uno successivo t+ : < x′, t+ |x, t > analogo a ei L(x, x ′−x  ) h¯  Da questo assunto Feynman ottenne delle espressioni in grado di rendere conto della meccanica quantistica nella formulazione usuale, e di grande potenza nella soluzione di alcuni problemi che i modelli standard non riu- scivano a gestire. Scopo del presente lavoro e` illustrare i princ`ıpi e i metodi di calcolo di questa formulazione alternativa, e mostrarne a titolo di esempio alcune peculiari applicazioni. 4