Dinamiche caotiche nel modello preda-predatore di Volterra-Lotka

Lo sviluppo della dinamica delle popolazioni si deve principalmente a due importanti scienziati del primo novecento: Alfred J. Lotka, esperto di statistica americano, e Vito Volterra, matematico italiano. Lotka vedeva la natura come un grande sistema di «trasformatori di energia» e racchiuse questa sua visione in un volume del 1925 intitolato ”Elements of Physical Biology”. Tra le altre riflessioni il volume presentava un modello matematico riguardante l’interazione di due specie animali delle quali una fosse parassita dell’altra. Il modello di Lotka si ispirava ad un altro suo modello riguardante una certa reazione chimica. Nello stesso periodo Volterra, su richiesta dello zoologo Umberto D’Ancona, intervenne con alcune considerazioni nello studio di uno strano fenomeno che aveva interessato due specie di pesci nell’alto Adriatico durante la Prima Guerra Mondiale. Il risultato fu la formulazione di un modello identico a quello di Lotka che infatti oggi viene indicato con il nome di ”Equazioni di Volterra-Lotka”. Il modello prevedeva una crescita delle popolazioni secondo la legge di Verhulst (logistica) influenzata dalla «teoria degli incontri», ovvero dall’ipotesi che l’effetto della predazione fosse proporzionale al numero di incontri tra esemplari delle due specie. Il modello originale è stato raffinato e arricchito dallo stesso Volterra e da altri studiosi permettendo di descrivere l’interazione tra più di due specie in condizioni non ideali. Il modello si configura in una coppia di equazioni differenziali ordinarie.
Esse descrivono un sistema dinamico non lineare avente come spazio delle fasi il primo quadrante del piano cartesiano. Questo sistema mostra molte delle particolarità tipiche dei modelli non lineari riguardo l’integrabilità e il comportamento in caso di perturbazioni dei coefficienti. I coefficienti, indicati con le lettere A,B,C,D, sono inizialmente supposti costanti; tuttavia si può alterare il modello assumendo che i coefficienti siano funzioni particolari del tempo dotate, ad esempio, di proprietà di periodicità o integrabilità. In questa forma più generale il sistema risultante ci permette di mostrare la natura caotica della dinamica che, per quanto nascosta, era già presente nel modello più semplice. Emergono in modo naturale elementi tipici della teoria dei sistemi caotici come certi insiemi invarianti ed iperbolici per particolari mappe discrete, costruite a partire dal sistema stesso. Le argomentazioni della tesi ricalcano quelle dell’articolo "Chaotic dynamics in the Volterra Predator-Prey Model via linked twist maps", di Marina Pireddu e Fabio Zanolin, Opuscula Mathematica, Vol.28, No. 4, 2008. La lettura dell’articolo ha rivelato l’assenza di sufficienti riferimenti o di una ragionevole dimostrazione circa un lemma chiave per le argomentazioni dell’articolo stesso (Lemma 3.1). In questa tesi si tenta di colmare questa lacuna descrivendo i passaggi mancanti per la giustificazione dei risultati e gli strumenti teorici utilizzati; si danno abbondanti riferimenti ad altri articoli per quanto riguarda le sfumature e le osservazioni che sottendono l’applicazione di tali strumenti alla nostra costruzione. In questo elaborato sono riassunti dapprima gli elementi di base dell’analisi qualitativa dei sistemi dinamici e i concetti elementari nell’uso della dinamica simbolica per la ricerca di strutture caotiche. In seguito sono analizzati tre strumenti fondamentali nello studio dei sistemi non lineari:
1. una costruzione che definisce un insieme invariante e iperbolico per un diffeomorfismo di R2 o T2 nell’intorno di un suo punto fisso iperbolico; si tratta di un risultato enunciato da Stephen Smale nel 1967 nell’articolo ”Differentiable Dynamical Systems”;
2. la mappa di Poincaré, di cui viene data una definizione generale ed una più specializzata all’analisi di cui ci occupiamo;
3. le Linked Twist Map, strumenti molto usati recentemente nell’analisi di vari modelli, ad esempio riguardanti il moto di particelle in un campo magnetico o l’evoluzione di reazioni chimiche. L’elaborato successivamente descrive il modello originale, ripercorrendo la costruzione di Volterra e citando le sue basi teoriche (dovute a Verhulst). Infine si ricostruisce la tesi di Pireddu e Zanolin tentando di desumere alcune conclusioni interessanti: da un punto di vista teorico si mostra che la ricchezza delle dinamiche descritte dal modello rende quest’ultimo molto più versatile di quanto possa sembrare in prima istanza; da un punto di vista pratico si tenta di giustificare, sulla base del modello, perché sia importante che ogni intervento sia ben ponderato quando si tenta di condizionare artificialmente un sistema naturale.