Dinamica di popolazioni a due sessi. Ricerca di soluzioni persistenti

________________________________________________________________________________________________________ Dinamica di Popolazioni a Due Sessi. Ricerca di Soluzioni Persistenti. Leonardo Teglielli A.A 1996/1997 …pagina 3 di 34… INTRODUZIONE ’interesse allo studio della dinamica di popolazioni a due sessi, è notevolmente aumentato in questi ultimi anni, soprattutto in ambito biologico, a causa del diffondersi di malattie per via sessuale, di problemi legati all’estinzione di una specie e, di contro, a problemi di sovrappopolazione. Il presente lavoro è dedicato alla costruzione e allo studio di particolari modelli di evoluzione per una popolazione distinta per sessi, e alla relativa ricerca di soluzioni persistenti (o, come a volte vengono anche chiamate “soluzioni di tipo esponenziale nel tempo”), cioè di soluzioni ottenute separando in modo particolare le variabili. Più precisamente, nel caso in cui il modello di evoluzione dipende da età e tempo, con soluzioni persistenti intendiamo soluzioni del tipo x(a)e λ t , prodotto di una funzione dipendente solo dall’età e di un esponenziale in λ t con λ costante reale. Nel caso in cui il modello è indipendente dall’età, soluzioni persistenti sono ce λ t con c e λ costanti reali, e il problema della loro esistenza, come poi si vedrà, è sostanzialmente riconducibile a un problema agli autovalori non lineare. Nel Capitolo 1, si è costruito il modello base da cui poi sono stati derivati gli altri. Nel formulare tale modello, come poi si vedrà, sono state fatte le seguenti ipotesi: 9 si suppone che la popolazione sia isolata, ovvero che nel corso del tempo non subentrino fattori, quali improvvise immigrazioni, emigrazioni, diffusioni di epidemie, che possano influenzare internamente o esternamente l’evoluzione della popolazione stessa, 9 le distribuzioni degli individui di ciascun sesso dipendono dal tempo, dalle età dei medesimi, e dalle età dei rispettivi genitori, 9 viene tenuto conto del periodo di gestazione. Inoltre, la produzione di nuovi individui (nascite) all’interno della popolazione presuppone l’accoppiamento fra maschi e femmine non in stato di gravidanza. Per questo, all’interno della distribuzione delle femmine, si è dovuto distinguere e considerare sia le gestanti che le non gestanti. Un’altra ipotesi importante è che dall’accoppiamento fra due individui non segue alcuna formazione e permanenza nel tempo della coppia formata dagli stessi. Tutto ciò ha permesso di poter tralasciare dal modello lo studio dell’evoluzione delle coppie. Per quanto riguarda il numero di accoppiamenti per unità di tempo, seguendo le scelte che più frequentemente vengono fatte in proposito, si è supposto essere espressi da una media geometrica fatta sulle densità dei maschi e delle femmine non gestanti. A livello analitico la funzione che descrive gli accoppiamenti è non lineare rispetto alle suddette distribuzioni. Seguendo queste ipotesi si è ottenuto un modello di evoluzione retto da due equazioni alle derivate parziali lineari del primo ordine, modello non lineare a causa della presenza nelle condizioni al contorno della funzione degli accoppiamenti, e con ritardo dovuto al periodo di gestazione. Partendo da questo modello, nel Capitolo 2 se n’è ottenuto un altro che descrive l’evoluzione delle densità dei maschi, delle femmine, delle gestanti e delle non gestanti, nel L