Codici Correttori da Grafi Espansori

Introduzione Supponiamo che due individui vogliano comunicarsi qualcosa. Uno dei due (il mittente) invierà quindi un messaggio all’altro (il destinatario). Può succedere però che il messag- gio, prima di arrivare al destinatario, subisca delle modifiche, che possono essere dovute, ad esempio, a rumori che alterano alcune parti del messaggio. Talvolta, durante la tra- smissione, il messaggio può diventare incomprensibile o semplicemente sbagliato per chi lo riceve. Se il destinatario riceve stinaci, probabilmente egli riconoscerà l’errore e sup- porrà che la parola inviata fosse invece spinaci. Se, però, la parola inviata è casa, ma il destinatario riceve caso, per lui sarà difficile capire che in realtà la parola inviata era un’altra. Un modo per risolvere questo problema consiste nell’inviare lo stesso messaggio ripetuto più volte: invece di inviare casa, il mittente invierà casacasacasa, per cui, se il destinatario riceverà casocasacasa, per lui sarà facile rilevare e correggere correttamente l’errore. Dal punto di vista computazionale, però, questi messaggi richiedono troppa memoria. Esistono altri metodi più efficaci per inviare messaggi facilmente correggibili anche se alterati, quali la creazione di "vocabolari" contenenti parole aventi una distanza sufficien- temente elevata l’una dall’altra. Se viene ricevuta una parola che non sta nel vocabolario, allora essa viene corretta con la parola del vocabolario più "vicina" a quella ricevuta (nel senso che verrà chiarito in seguito). Il vocabolario viene chiamato codice correttore. La teoria dei codici correttori si occupa proprio dello studio di metodi per codificare mes- saggi in modo che sia semplice per il ricevente individuare e correggere eventuali errori di trasmissione. Lo scopo principale di questa tesi è quello di costruire codici correttori con buone ca- ratteristiche per quanto riguarda l’espressività (vogliamo che il numero di parole conte- nute nel dizionario sia elevato), il costo computazionale (le parole devono essere corte) e l’individuazione e la correzione di errori (richiediamo che la distanza tra le parole sia sufficientemente grande). Codici che rispettano queste caratteristiche sono detti codici correttori asintoticamente buoni. È possibile legare la Teoria dei Codici e l’Algebra Lineare tramite una matrice, detta matrice di controllo del codice. Informalmente, un grafo è un insieme di punti, che rappresentano degli enti, uniti da linee (dirette o non orientate), che rappresentano le relazioni che intercorrono tra gli enti. Supponiamo, ad esempio, che gli enti siano computer e che due computer siano in re- lazione se sono connessi tra loro. Se richiediamo che i computer siano ben connessi tra loro, ovvero che togliendo alcune connessioni una parte dei computer non risulti isolata, ma che allo stesso tempo non ci siano troppe connessioni, allora stiamo richiedendo che il tasso di espansione del grafo sia elevato. Una famiglia di grafi espansori è, infatti, una famiglia di grafi, che richiede che siano verificate due proprietà parzialmente in conflitto: il grafo deve essere ben connesso, ma non deve avere troppi lati (relazioni). È possibile legare la Teoria dei Grafi all’Algebra Lineare, tramite la matrice di adiacenza di un grafo. Usando la matrice di controllo di un codice e la matrice di adiacenza di un grafo è possibile legare la Teoria dei Codici e la Teoria dei Grafi, passando per l’Algebra Lineare. Inoltre, tramite una costruzione opportuna, possiamo unire le proprietà in conflitto di 5