Catene di Markov e processi epidemici stocastici

Scopo dell'elaborato è lo studio di un processo stocastico a tempo discreto che modellizza la diffusione di un’epidemia in una popolazione suddivisa in classi, in cui si suppone che la popolazione totale si mantenga costante.

Dal momento che lo strumento matematico più adatto a descrivere l’aleatorietà intrinseca del sistema sono le catene di Markov, nel Capitolo 1 è presentato uno studio dettagliato della teoria che le riguarda. Particolare rilievo viene dato all'analisi del comportamento della catena in presenza di stati ricorrenti e transitori, al calcolo delle probabilità di assorbimento e al comportamento asintotico delle catene di Markov.

Successivamente la teoria delle catene di Markov è applicata a due modelli epidemici particolari, il modello SIS e il modello SIR. Si tratta di modelli compartimentali, ovvero modelli che, per descrivere la diffusione di un’epidemia in una popolazione molto vasta, raggruppano gli individui che la compongono in poche classi, a seconda della loro condizione nei confronti dell’epidemia in questione.
Per far fronte alla necessità di un confronto tra i modelli SIS e SIR stocastici e i corrispondenti sistemi dinamici, nel Capitolo 2 vengono brevemente presentati i due modelli dal punto di vista deterministico: essi consistono, rispettivamente, nei seguenti sistemi di equazioni differenziali, che rappresentano la variazione nel tempo degli individui che compongono le varie classi.

In particolare, viene sottolineata fin dall’inizio l’importanza di un parametro, detto tasso riproduttivo dell’infezione, che influisce notevolmente sulla dinamica dell’epidemia: il suo valore determina, infatti, se l’epidemia raggiungerà l’estinzione oppure assumerà un carattere endemico. Nella seconda parte del capitolo, infine, viene introdotto nei modelli un tasso di mortalità naturale, necessario per analizzare l’andamento dell’epidemia su lunghi periodi.
Nei casi in cui questo è stato possibile, inoltre, sono state determinate le soluzioni esplicite delle equazioni differenziali; in ogni caso, per dare un’idea del loro andamento si è fatto sempre ricorso a simulazioni numeriche.

Nel Capitolo 3, che rappresenta la parte più consistente dell’elaborato, vengono ripresentati i due modelli SIS e SIR, questa volta dal punto di vista probabilistico. I modelli sono costruiti come catene di Markov: ad ognuna delle variabili aleatorie che costituisce il processo e che rappresenta, quindi, il numero di individui che, in ogni istante, compongono le varie classi, viene associata una funzione di probabilità; grazie a tali funzioni, si costruisce la matrice di transizione, la quale permette di legare la distribuzione iniziale degli individui infettivi alle distribuzioni negli istanti successivi. Si analizza, quindi, il comportamento dei sistemi e se ne classificano i possibili stati.

La conclusione più importante che si può trarre è la seguente: contrariamente al caso deterministico, il sistema tende ad una situazione in cui l’epidemia si estingue, indipendentemente dal valore dei parametri; ciò segue dal fatto che lo stato corrispondente ad un numero nullo di infettivi è uno stato assorbente.
In realtà, si nota che la conclusione secondo cui l’epidemia si estingua con probabilità uno, non è in reale contraddizione con i risultati del Capitolo 2. A questa e ad altre simili questioni è dedicato l’ultimo capitolo: l’elaborato si conclude con il calcolo della probabilità che l’epidemia raggiunga uno stato endemico, seguito dalla la trattazione dell’esistenza di una probabilità quasi-stazionaria (una distribuzione di probabilità su cui il processo sembra stabilizzarsi) e, infine, da una discussione sulla durata dell’epidemia.
Sono presenti, inoltre, varie simulazioni delle traiettorie dei processi stocastici, realizzate con l’aiuto di Matlab.