Approssimazione di equazioni iperboliche in una dimensione spaziale

Capitolo 4 Problemi iperbolici L’approssimazione numerica delle equazioni iperboliche 1 è un’area di ricerca molto attiva. La caratteristica principale di questo tipo di problemi è quella che le perturbazioni si propagano con velocità finita. Un’altra caratteristica è che, per quanto riguarda il bordo, in accordo con il segno dei coefficienti dell’equazione, le regioni del bordo di "inflow" e di "outflow" determinano,dacasoacaso,doveoccorredisporrelecondizionialbordo. Senonèimplementata convenientemente, la realizzazione numerica delle condizioni al bordo è una potenziale sorgente di instabilità. 4.1 Problemi con dati iniziali Negli esempi che seguiranno 2 ci occuperemo di un tipo molto significativo di equazioni di tipo iperbolico: le equazioni lineari di convezione, dette anche equazioni lineari di trasporto. Affronteremo dunque questi esempi in modo qualitativo, tralasciando di specificare l’esatta appartenenza delle funzioni incontrate nel prosieguo ad opportuni spazi funzionali. L’esempio più semplice di problema iperbolico è dato quindi dalla seguente equazione: @u @t (t;x) +a @u @x (t;x) = 0; t> 0;x2R (4.1) dove il coefficiente a2Rnf0g. LasoluzionedelproblemadiCauchydefinitodall’equazione(4.1), aggiungendolacondizione iniziale: u(x; 0) =u 0 (x); x2R; (4.2) è semplicemente l’onda viaggiante con velocità a: u(t;x) =u 0 (x at); t 0: La soluzione è costante lungo le curve caratteristiche, ovvero le curve x(t) del piano (t;x) soddisfano le equazioni differenziali ordinarie: x 0 (t) =a; x(0) =x 0 : t> 0 Nel caso più generale, l’equazione lineare di convezione è data aggiungendo altri elementi all’equazione (4.1): 1 Per una teoria più approfondita sulle equazioni iperboliche si veda G.B. WHITHAM, Linear and Nonlinear Waves, John Wiley and Sons, New York (1974). 2 Si farà riferimento a J.C. Strikwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations, Wadsworth and Brooks/Cole, Pacific Grove (1989). 25