Simulazione di variabili aleatorie e riduzione della varianza

La teoria della probabilità è uno strumento matematico utile per lo studio dei cosiddetti fenomeni aleatori, che sono fenomeni complessi o di difficile modellizzazione, il cui esito non è prevedibile a priori con certezza, ma che tuttavia presentano una qualche forma di regolarità; per questo motivo, il comportamento di tali fenomeni può essere descritto solo attraverso opportune grandezze globali o medie.
Idealmente, questo testo potrebbe essere utile per coloro che sono interessati principalmente alla formulazione di un modello stocastico (casuale) che descriva un tale fenomeno reale. In questa prospettiva si usa di solito fare un compromesso tra la scelta di un modello che è una replica realistica del fenomeno oggetto di studio e la scelta di un modello la cui analisi matematica è trattabile. Analoghe considerazioni hanno portato a ritenere appunto la teoria della probabilità particolarmente adatta per essere applicata a questo approccio, vale a dire, per cercare di modellare il fenomeno il più fedelmente possibile e poi fare affidamento su uno studio di simulazione per analizzarlo.
Dopo alcuni preliminari, si mostra dunque come analizzare un modello attraverso l’uso di uno studio di simulazione. In particolare, dobbiamo prima vedere come un computer può essere utilizzato per generare numeri casuali (precisamente, pseudocasuali) e di conseguenza come questi numeri casuali possono essere impiegati per generare i valori di variabili aleatorie aventi distribuzioni arbitrarie. Utilizzando il concetto di eventi discreti, si mostra come utilizzare tali variabili aleatorie per simulare il comportamento di un modello stocastico nel tempo. Successivamente, generando continuamente il comportamento del sistema mostreremo come ottenere degli stimatori per le quantità di interesse desiderate. Infine, discutiamo vari metodi per aumentare la precisione delle stime di simulazione, riducendo la loro varianza. Questo è un tentativo di migliorare lo stimatore dell’usuale simulazione.
In aggiunta, siccome è estremamente importante sia capire che applicare la teoria, molti esempi sono elaborati in tutto il testo per chiarire e risolvere nella pratica i concetti che hanno particolare enfasi.
L’organizzazione del testo si articola in 3 capitoli più l’Appendice A come segue:
Nel Capitolo 1 si introducono i concetti basilari della teoria della probabilità condizionata e dell’aspettazione condizionata. Dopo aver fornito le definizioni preliminari si presentano anche le proprietà elementari di tali concetti illustrandone l’utilità. Il “condizionamento”, infatti, è uno degli strumenti fondamentali della teoria della probabilità, in quanto, se correttamente utilizzato, spesso ci permette di risolvere facilmente problemi che a prima vista sembrano molto difficili. In particolare, nei vari paragrafi viene presentato il suo utilizzo per il calcolo delle aspettazioni, della varianza e delle probabilità stesse.
Il Capitolo 2 si occupa della simulazione, un potente strumento per l’analisi dei modelli stocastici che sono analiticamente intrattabili. Prima di iniziare questo argomento, vengono introdotte due applicazioni della simulazione a problemi di tipo combinatorio. A questo punto, al fine di rendere il modello di simulazione più realistico, si mostra come generare numeri casuali che seguono una determinata distribuzione teorica o empirica. Per questo vengono discussi metodi generali e speciali per la simulazione di variabili aleatorie continue e discrete. In particolare, si evidenziano:
Il metodo della trasformazione inversa, che costituisce una delle tecniche più comunemente utilizzate ed è applicabile ai soli casi in cui la funzione di densità cumulativa può essere invertita analiticamente.
Il metodo del rigetto, che si utilizza invece solo in assenza di altri metodi, ossia è molto utile quando la funzione cumulativa non è nota o non è analiticamente invertibile e la sua efficienza risulta dipendente dalla forma di g(x).
Dopo aver fornito una definizione formale, per ognuna delle tecniche si introducono vari esempi che mostrano come tale problemi si caratterizzano statisticamente.
Il Capitolo 3 tratta il tema della riduzione della varianza, estremamente importante in uno studio di simulazione, perché può sostanzialmente migliorare la propria efficienza. Di conseguenza, siamo portati a considerare alcuni metodi per ottenere nuovi stimatori che sono miglioramenti degli stimatori dell’usuale simulazione, in quanto hanno stessa media e varianza ridotta. Il capitolo inizia con l’introduzione della tecnica che utilizza le variabili antitetiche.