Implementazione in Java di un algoritmo di Capocelli e Hoffmann per decidere l’univoca decifrabilità e altre proprietà di un insieme finito di parole

I codici (a lunghezza variabile) sono stati considerati da Shannon verso la fine degli anni ’40 e successivi contributi furono dati principalmente da Schützenberger, Kraft, Sardinas, Patterson, McMillan.
Un codice è un insieme di parole su un alfabeto finito e che è accettabile nella trasmissione dell’informazione: giustapponendo tali parole si ottengono messaggi che possono essere decifrati univocamente, ossia senza ambiguità.
Le proprietà di decifrabilità unica e di ritardo di decifrazione sono centrali della Teoria dei Codici. Esse formalizzano se un messaggio codificato può essere decodificato in maniera non ambigua e se tale decodifica è possibile senza prima ricevere l’intero messaggio. Sardinas e Patterson nel 1950 hanno fornito una condizione necessaria e sufficiente perché un insieme sia un codice, che nel caso
di insiemi regolari, e quindi anche finiti, si trasforma in una proprietà decidibile.
Capocelli e Hoffmann hanno disegnato un algoritmo per testare l’univoca decifrabilità di un insieme finito di parole X basato sul test di Sardinas e Patterson. Consiste nel costruire un grafo R(X) in base all’insieme delle parole X specificato e nell’esplorare questo grafo attraverso una ricerca in ampiezza (BFS) per determinare l’esistenza di un particolare percorso da un insieme distinto di vertici ad un vertice che rappresenta una parola di codice. Il grafo consente di catturare anche altre proprietà dell’insieme di parole come il ritardo di decifrazione finito e la sincronizzazione.Il primo passo dell’algoritmo prevede la costruzione di una Pattern
Matching Machine utilizzata in generale per individuare in una stringa testuale le occorrenze dei patterns (parole chiave) forniti in input.
L’implementazione della Patten Matching Machine presentata in questo lavoro di tesi è stata effettuata seguendo l’algoritmo di Aho-Corasick; essa consiste di tre funzioni:

La funzione goto è rappresentata da un grafo definito in base alle parole chiave fornite in input: i vertici rappresentano i prefissi di tali parole, mentre gli archi collegano i vertici in modo tale da formare un percorso che identifichi la singola parola chiave;

La funzione failure è computata per tutti i vertici del grafo (funzione goto) e tale valore viene preso in considerazione quando si verifica un fallimento nell’utilizzo della funzione goto;

La funzione output costruita in due parti, la prima dalla goto e la seconda dalla failure, definita per quei vertici che identificano una parola chiave.
La Pattern Matching Machine è fondamentale per la creazione del grafo R(X) effettuata nei due passi centrali dell’algoritmo: l’insieme dei vertici è lo stesso definito per la funzione goto mentre si sfruttano le funzioni failure e output per determinare l’insieme degli archi, che possono essere di due tipologie:

Archi EReach: sono identificati attraverso la funzione output;

Archi EDivisor: sono individuati dalla funzione failure.
L’ultimo passo consiste nell’effettuare una ricerca in ampiezza (BFS) sul grafo R(X) per trovare almeno un cammino non banale dai vertici di un insieme S(X), contenente i vertici che rappresentano parole che siano prefissi di altre parole dell’insieme X, a vertici che rappresentano parole dell’insieme X.
Dopo aver verificato che l’insieme delle parole X sia un codice, si passa alla verifica del ritardo di decifrazione finito e della sincronizzazione.
La prima consente di non dover aspettare l’intera ricezione del messaggio per effettuare la decodifica. La seconda permette di avere un fattore speciale w all’interno di un messaggio di cui non si conosce l’inizio e la fine, e w consente di decodificare il messaggio dall’inizio fino a w’ e da w’’ fino alla fine, dove w’w’’ = w.
Capocelli e Hoffmann hanno dimostrato che un codice ha ritardo di decifrazione finito se e solo se sul grafo non esistono cicli dai vertici di S(X) a vertici in X; mentre la proprietà di sincronizzazione è provata se il grafo R(X) risulta essere aciclico.
La verifica di entrambe le proprietà è stata effettuata sfruttando un ben noto teorema nella teoria dei grafi che afferma che un grafo orientato è aciclico se e solo se una visita in profondità (DFS) sul grafo non produce archi all’indietro, ossia che connettono un vertice ad un suo antenato.
Il progetto realizzato in Java 1.4 ha seguito le linee guide di tale algoritmo.