La proposizione di Godel

5 INTRODUZIONE Nel 1931, con Über formal unentscheidbare Sätze der “Principia mathematica” und verwandter Systeme I, Gödel pubblica l’articolo forse più famoso dell’intera logica matematica. L’incompletezza dei sistemi formali coerenti, che contengano l’aritmetica elementare, e insieme l’impossibilità di dimostrare, all’interno di quei sistemi, la loro coerenza sono i due risultati diretti dello scritto. Di fronte al problema aperto dai paradossi della teoria degli insiemi, quello di restituire alla conoscenza matematica la piena certezza del suo procedere, e con Hilbert, in modo classico, il rango di modello per il pensiero di sicurezza e di verità, i teoremi di Gödel segnano l’insufficienza della fondazione assiomatica. Il concetto di teoria assiomatizzata ha percorso comunque una ricca storia, ma all’infrangersi della più alta ambizione formalista per lungo tempo si è accompagnato il retrogusto della speranza tradita. Il limite del metodo assiomatico regala però una subitanea consolazione; in chiave positiva, l’incompletabilità della matematica pare dischiudere all’inventiva concettuale uno spazio, di cui non si intravede la fine. Qualcosa di questo atteggiamento, che si colora di ottimismo, prende corpo, in maniera molto chiara, nelle affermazioni di Tullio Regge (L’universo senza fine, 1999), fornendo al contempo una misura del successo dei teoremi di Gödel al di fuori della logica stessa. Se poniamo, al posto di “linguaggio formale” il termine “teoria o modello fisico”, e a “decisione” sostituiamo “verifica sperimentale” di una legge fisica, otteniamo secondo Regge un modello convincente e realistico del procedere della scienza. L’impresa scientifica entusiasma perché incompleta; ma l’universo per primo, nella sua realtà fisica, si configura come entità logicamente infinita, cioè indecidibile. D’altro canto la non realizzabile chiusura della matematica entro il raggio di un sistema formale conduce, lungo le linee di forza che raccordano quest’ultimo all’essenza del procedimento