Analisi e risoluzione numerica di un problema inverso di conduttività elettrica

In questa tesi, sviluppata presso la SC-AIP s.a.s., un’azienda dell’Incubatore Imprese Innovative del Politecnico di Torino, viene affrontato il problema di ricostruire il fronte piano di separazione di due regioni di un solido con conduttività diverse. L’obiettivo finale `e quello di ricostruire la conduttività del solido a partire dalle misure del potenziale elettrico che si instaura agli elettrodi in seguito a determinate correnti iniettate. Si tratta di un problema inverso non-lineare mal-posto quindi, per prima cosa verrà modellizzato, discretizzato e risolto il problema diretto ad esso associato. Poi, dopo aver affrontato le problematiche principali legate ai problemi inversi e alla loro regolarizzazione, sarà possibile, mediante un procedimento iterativo, trovare la giusta posizione del piano a partire da valori di potenziale e corrente noti.
Per risolvere il problema diretto si utilizzerà un modello matematico chiamato complete electrode model. Questo modello e tutti i metodi usati per invertire il problema sono frequentemente citati nella letteratura sulla ricostruzione di immagini attraverso la tomografia ad impedenza elettrica, una tecnica usata soprattutto in campo medico, industriale e geologico. Il modello che vedremo darà luogo ad un’equazione alle derivate parziali ellittica con condizioni al bordo di tipo misto che consente di risolvere il problema diretto.
Tutto questo sarà analizzato da un punto di vista matematico e poi risolto tramite l’utilizzo dell’ambiente di sviluppo MATLAB e di funzioni sviluppate in parte dal candidato ed in parte dalla SC-AIP.