Un algoritmo euristico per il problema del vertex coloring

1 Introduzione Nel presente lavoro si descrive lo sviluppo di un algoritmo euristico per il problema del vertex coloring. L’organizzazione è la seguente: verrà introdotto il problema sia dal punto di vista modellistico che pratico, con un breve elenco dei risultati presenti in letteratura. Si passerà poi ad analizzare i metodi stocastici alla base dell’algoritmo implementato, cioè il metodo Monte Carlo Markov Chain. A seguire si riportano le idee mutuate dalla meccanica statistica: Spin Glass e Proba- bilistic Cellular Automata. Infine si analizzeranno i risultati sperimentali ottenuti. 1.1 Nozioni e definizioni preliminari 1.1.1 Complessità computazionale La ricerca operativa (o in inglese operations research) è una branca della matematica che si occupa di formalizzare un problema reale in un modello e calcolarne una soluzione. I problemi studiati sono moltissimi, spaziano dai classici Travelling Salesman Problem al Coloring sino alla progettazione di layout produttivi. Tali modelli descrivono plurime situazioni reali. La forma “canonica” cui si riducono tali problemi è la seguente: Max f(x) x ∈ H Problema 1.1 Questo è un problema detto di ottimizzazione, poichè vuole massimizzare una funzione rispettando certi vincoli di appartenenza ad un insieme. La funzione da massimizzare è detta funzione obiettivo (fo), il vettore di variabili x è la soluzione del problema e f(·) calcolato nella soluzione è il valore della stessa. L’insieme H definisce la regione di ammissibilità del problema, se il vettore x appartiene all’insieme è detto feasible o soluzione ammissibile. H definisce quindi i vincoli del problema. Si può facilmente passare da problemi di massimizzazione a problemi di minimizzazione cambiando il segno della funzione obiettivo, pertanto nel seguito si farà riferimento a problemi di massimizzazione per fissare le idee ma senza perdita di generalità. 5