Modelli dinamici per la volatilità delle serie finanziarie: analisi e prove di simulazione

Capitolo 1 Statistiche congiunte e condizionate In questo paragrafo forniamo dei richiami di statistica che riteniamo utili ai ni di una chiara e completa comprensione di questo elaborato. In particolare parliamo delle statistiche congiunte e condizionate din variabili aleatorie, in quanto questo e il caso di nostro interesse e pensiamo che il lettore abbia una conoscenza di base di questi concetti in relazione al caso di singola variabile o coppia di variabili aleatorie. Ad esempio, avendo a disposizione n osservazioni giornaliere dei rendimenti di un titolo azionario queste possono essere rappresentate mediante unan-upla di variabili aleatorie dove X e il valore al tempo 1, Xil valore al tempo 2 e cos via. E’ necessario allora introdurre 12 degli strumenti matematici per caratterizzare statisticamente n variabili aleatorie, con n> 2. Vedremo che la maggior parte dei concetti necessari sono un’estensione naturale di delle denizioni e dei risultati gi a noti nel caso di coppie di variabili aleatorie. Per utilizzare una notazione sintetica, possiamo organizzare le n variabili aleatorie X;:::;Xin un vettore colonna: 1n T X = [X;:::;X] 1n ottenendo cos un vettore di n variabili aleatorie. L’apice T indica semplicemente l’oper- azione di trasposizione. Quindi, considerando n variabili aleatorie, cominciamo dando la denizione di: Funzione di distribuzione cumulativa (o di ripartizione) congiunta (CDF) Funzione di densit a di probabilit a congiunta (PDF) Denizione 1 (CDF congiunta di n variabili aleatorie) Date n variabili aleatorie X;:::;X, la loro CDF congiunta e data da: 1n F(x;:::;x) =P (X x;X x;:::;X x) X:::X1n1122nn 1n n dove (x;:::;x)2<. 1n 3