Elaborazione efficiente di matrici strutturate per codici correttori d'errore

L’obiettivo di questa tesi è quello di analizzare algoritmi efficienti per l’elaborazione di matrici aventi una particolare struttura.
Infatti l’utilizzo di tali algoritmi è funzionale all’implementazione durante la fase di codifica di un particolare tipo di codice Low Density Parity Check.
Nella prima parte di questa tesi vengono ripresi concetti della teoria dei numeri e dell’algebra noti in letteratura i quali costituiscono le basi matematiche per comprendere e analizzare gli algoritmi proposti nel seguito.
Dopo questa introduzione matematica preliminare, si passa ad analizzare la particolare struttura e le proprietà delle matrici circolanti che sono l’oggetto su cui si dovranno operare in modo efficiente le varie operazioni.
Il primo problema che viene affrontato è quello dell’inversione di tali matrici: è noto in letteratura che le matrici circolanti sono diagonalizzabili tramite la matrice di Fourier e questa proprietà può permettere di implementare l’inversione in maniera rapida.
La limitazione di tale approccio è quella che nel caso in cui si operi in un anello Zm, per esempio nel caso più interessante nella pratica in cui gli elementi della matrice circolante siano in forma binaria, l’inversione è possibile solo se è verificata la relazione di primalità tra la dimensione n della matrice circolante e la caratteristica m dell’anello.
A questa limitazione si aggiunge il problema di trovare un ampliamento dell’anello Zm tale da garantire la presenza di n radici n-esime dell’unità necessarie per l’implementazione della Fast Fourier Trasform.
L’unico modo per superare queste problematiche è quella di cambiare approccio ricorrendo alla proprietà per la quale una matrice circolante può essere univocamente determinata dal polinomio con coefficienti pari agli elementi della prima riga, cioè in termini matematici dell’isomorfismo dell’anello delle matrici circolanti a quello dei polinomi associati.
Utilizzando questo punto di vista l’inversione di una matrice circolante si riconduce all’inversione del polinomio associato nel campo Zm.
Sotto questa ipotesi viene descritto un algoritmo per l’inversione polinomiale che fa uso dei risultati della teoria dei numeri e dell’algebra esposti nella prima parte della tesi.
L’operazione successiva che viene analizzata è quella della moltiplicazione tra matrici circolanti che, sotto le ipotesi descritte sopra, è riconducibile alla moltiplicazione polinomiale.
Nel terzo capitolo vengono quindi analizzati i vari tipi della famiglia di algoritmi Toom Cook k per la moltiplicazione polinomiale e l’algoritmo di Schonhage – Strassen che viene illustrato nel secondo capitolo.
Nell’ultimo capitolo vengono utilizzati i risultati e gli algoritmi precedenti nell’implementazione della codifica di codici QC – LDPC; infatti per codificare tutte le parole di informazione di un codice è necessario implementare una moltiplicazione vettore per matrice che nel caso in questione viene effettuato tramite gli algoritmi di Toom Cook.
Nell’ultima parte viene valutato il numero di operazioni necessarie nella fase di moltiplicazione e i risultati sono confrontati con la moltiplicazione tradizionale.