Teoremi di Punto Fisso e Applicazioni

In questo lavoro viene presentata una classe di teoremi che costituiscono un potente strumento matematico nell’ambito della teoria economica. Si tratta dei teoremi di punto fisso: data una funzione f definita da un insieme X in se stesso, tali teoremi stabiliscono l’esistenza di un punto la cui immagine tramite la funzione è uguale al punto stesso. Classiche applicazioni dei teoremi di punto fisso in Economia sono lo studio dell’esistenza dell’equilibrio di un modello economico o dell’esistenza dell’equilibrio di Nash nella teoria dei giochi. Applicazioni si trovano anche in Analisi Matematica, in particolare nel campo delle equazioni differenziali ordinarie e delle equazioni differenziali alle derivate parziali. Possiamo distinguere alcune categorie di teoremi di punto fisso che differiscono per le ipotesi richieste. Il teorema di Tarski ed i suoi corollari si basano sulla struttura d’ordine dell’insieme X e sulla monotonia di f. Il teorema di Banach, detto anche teorema delle contrazioni, utilizza la struttura degli spazi metrici e richiede una forma forte di continuità della funzione f. Infine il teorema di Brouwer e le sue estensioni(teorema di Uzawa, teorema di Kakutani) si basano su ipotesi di compattezza dello spazio X e di continuità di f. Questo elaborato si propone di esporre ed approfondire il Teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli, o teorema delle contrazioni, un potente strumento basato sulla teoria degli spazi metrici. Stefan Banach, matematico polacco vissuto all’inizio del XX secolo, provò per la prima volta il teorema di punto fisso dimostrando l’esistenza e l’unicità del punto fisso per una contrazione definita su uno spazio metrico completo. Il risultato di unicità rende il teorema diverso dagli altri che consentono, invece, l’esistenza pi`u punti fissi. Per analizzare questa teoria ci serviremo di alcune strutture matematiche che saranno trattate nel primo capitolo, sul piano teorico e attraverso alcuni esempi. Esse sono: spazi vettoriali, spazi normati, spazi metrici e particolari successioni numeriche in spazi metrici. Nel secondo capitolo sarà analizzato e dimostrato il Teorema di Banach; inoltre si osserverà per mezzo di alcuni esempi, che le ipotesi dello stesso non possono essere indebolite. Infine, nel Capitolo 3 vedremo che la dimostrazione del teorema di Banach fornisce un metodo costruttivo per il calcolo del punto fisso che sarà usato per determinare l’approssimazione di un numero irrazionale ed applicato alla risoluzione di un sistema di equazioni lineari.