Opzioni asiatiche: classificazione, pricing ed applicazioni alle polizze index-linked

Nella prima parte della tesi si cercherà di tracciare un breve quadro riassuntivo riguardante lo sviluppo dei derivati, la loro utilità nel mercato finanziario, il concetto di opzione, di put-call parity, e di pricing descrivendo il modello di Black e Scholes, che risulta ancora oggi il metodo di valutazione più utilizzato ed analizzato dagli studiosi del settore. Presenteremo inoltre, una breve panoramica delle più conosciute opzioni esotiche, che si allacciano all’argomentazione presentata nella seconda parte di questo lavoro: le opzioni asiatiche. Sono un tipo di opzioni che appartengono alla famiglia path-dependent, in quanto il loro profitto dipende da un valore medio calcolato sulla base di prezzi che si riferiscono ad un predeterminato insieme di osservazioni. Risultano molto più convenienti rispetto alle classiche opzioni ordinarie, ma proprio per le loro caratteristiche strutturali, il pricing di questi prodotti, presenta ancora oggi dei quesiti irrisolti.
La prima problematica che vogliamo sottolineare, è che per questo tipo di opzioni, non è possibile applicare direttamente la formula di Black e Scholes per la loro valutazione: in tale equazione il prezzo dell’opzione non dipende in nessun modo dalla variabile essenziale che caratterizza le opzioni asiatiche, cioè, la media dei prezzi del sottostante. Introducendo nell’equazione un elemento che sia strettamente legato a questa media, abbiamo ricavato l’equazione differenziale per le opzioni asiatiche.
La seconda problematica che vogliamo evidenziare è la valutazione delle opzioni asiatiche in forma chiusa. Nel caso in cui il parametro di riferimento sia la media aritmetica, non è stata ancora trovata una formula di valutazione. Qualora la media di riferimento sia di tipo geometrico, si può dimostrare che, sia nel caso discreto che continuo, la media geometrica segue una distribuzione lognormale con media e varianza che possono essere calcolate esplicitamente. Pur essendoci notevoli difficoltà nel ricavare una formula chiusa per opzioni asiatiche che prevedono medie aritmetiche, nella prassi operativa la maggior parte delle opzioni asiatiche negoziate, presentano come parametro di riferimento proprio medie di tale tipologia. La considerazione di tale situazione, costituisce il punto di partenza dello sviluppo del modello di Vorst, che utilizza la media geometrica come approssimazione della media aritmetica delle rilevazioni di prezzo dell’asset sottostante e tiene conto dell’effetto approssimazione attraverso una rettifica dello strike price. Nella conclusione della seconda parte, presenteremo il metodo MonteCarlo, e pur essendo maggiormente utilizzate tecniche di riduzione della varianza per ridurre l’intervallo di confidenza, analizzeremo l’applicazione proposta da Sabato e Panetta, basata sull’aumento del numero di sequenze di numeri casuali, descrivendone poi i risultati ottenuti.
Nella terza ed ultima parte, tratteremo l’applicazione delle opzioni asiatiche alle polizze Index-Linked. Quest’ultime, sono polizze assicurative indicizzate e strutturate: "indicizzate" perché il loro rendimento è strettamente legato all'andamento dell'indice preso a riferimento, "strutturate" in quanto vengono costituite attraverso l'utilizzo di diversi titoli, ed in particolare, attraverso l'utilizzo di obbligazioni (zero coupon bond) e di strumenti derivati (opzioni).
L’offerta di questi due titoli così diversi tra loro permette all’impresa di assicurazione di ottenere un rendimento certo che si vuole offrire al contraente (lo zero coupon bond) senza doversi privare a priori dei rendimenti connessi all’andamento dei mercati valutari ed azionari. In questa parte quindi, attraverso un esempio Ras, cercheremo di comprendere la divisione tra zero coupon bond e derivati, descriveremo tale tipologia di polizze dal punto civilistico e fiscale, e verrà sintetizzato il modello di Brennan e Schwartz per il calcolo del premio unico puro e premio periodico. Nell’ultimo capitolo di questo lavoro, presenteremo il modello di Vannucci per la valutazione del costo di opzioni asiatiche a media aritmetica di tipo americano, inserite in prodotti Index-Linked ed utilizzante l’approccio con alberi binomiali ricombinanti, con due obiettivi fondamentali:
1. proporre un metodo di valutazione di opzioni asiatiche con media aritmetica e di tipo americano, che come tali, presentano ancora oggi notevoli problematiche di pricing;
2. attraverso la valorizzazione sia di parametri finanziari che assicurativi, dare un contributo alle scelte delle emittenti finanziarie, che possono in questo modo aumentare il costo dell’opzione rispetto a quanto prevederebbe uno scenario economico-finanziario ammissibile al momento della valutazione.