Modelli discreti di valutazione di opzioni

I prodotti finanziari derivati, e le opzioni in particolare, negli ultimi anni, hanno ottenuto un notevole successo presso gli investitori, accompagnato da un crescente interesse degli studiosi e dei ricercatori per la loro valutazione.
Un primo modello di valutazione è stato proposto da Fischer Black e Myron Scholes (premio Nobel per l’Economia nel 1997) nel 1973, i quali, attraverso il loro modello, sono riusciti ad ottenere la celebre formula di valutazione delle opzioni standard di tipo call.
Successivamente, l’attenzione degli studiosi si è spostata verso la considerazione delle dinamiche del prezzo del titolo al tempo discreto, dando origine, così, a diversi modelli di riferimento; tra questi il più significativo è il modello binomiale proposto da Cox, Ross, Rubinstein nel 1979 (simultaneamente da Rendleman e Bartter nella stesso anno).
Tale modello descrive l’andamento del prezzo del titolo attraverso un processo moltiplicativo binomiale, rappresentabile con un reticolo. Attraverso ciò sono riusciti ad ottenere una formula per la valutazione delle opzioni standard call e put.
Tenendo presente che la struttura del modello binomiale si basa essenzialmente su versioni discrete degli stessi argomenti che sono alla base del modello di Black-Scholes, Cox, Ross e Rubinstein hanno dimostrato che, per determinati valori dei parametri del modello, la distribuzione binomiale del prezzo del titolo sottostante, al tendere del numero di periodi in cui viene divisa la vita dell’opzioni all’infinito, converge alla distribuzione log-normale e così la formula binomiale converge alla formula di Black e Scholes.
Considerare la distribuzione binomiale come un’approssimazione di quella continua log-normale, ha spinto numerosi autori alla ricerca di una definizione dei parametri dell’albero (reticolo) in grado di garantire una convergenza migliore.
Il concetto di qualità della convergenza non ha una definizione univoca, tanto che, ogni autore, nella definizione del proprio modello segue una sua teoria.

Nel 1995 Leisen e Reimer, considerando tra i modelli presenti in letteratura quello binomiale, quello di Jarrow e Rudd (1983) e quello di Tian (1993), sono giunti alla definizione di tre modelli (CP, PP1, PP2) sviluppati applicando delle approssimazioni della distribuzione normale alla binomiale invertita, ottenendo una miglior qualità della convergenza per le call europee.

Questo elaborato è diviso in due capitoli:
- nel primo viene data la definizione di opzione e di alcune sue caratteristiche. Inoltre si illustra la valutazione del pricing delle opzioni sia al tempo continuo mediante il modello di Black-Scholes, che al tempo discreto, attraverso quello di Cox, Ross e Rubintein prestando attenzione alla convergenza di quest’ultimo al modello di Black-Scholes;-il secondo capitolo si occupa della convergenza dei modelli attraverso il modello di Leisen e Reimer che si pone l’obiettivo di migliorare la velocità di convergenza dei modelli presenti in letteratura. A prova di questo, vengono forniti dei risultati numerici non solo per la valutazione delle call e put europee, ma anche delle put americane.