Modelli a volatilità stocastica

Capitolo 2 MODELLI A VOLATILITA’ STOCASTICA Per fornire valutazioni coerenti con i volatility smiles che si osservano sui mercati, sono stati proposti diversi modelli. Il modello ad elasticità della varianza costante produce volatility smiles simili a quelli che si osservano sui mercati delle opzioni su azioni. Il modello diffusivo a salti produce volatility smiles simili a quelli che si osservano sui mercati delle opzioni su valuta. I modelli a volatilità stocastica sono più flessibili in quanto possono produrre volatility smiles simili a quelli che si osservano sui mercati delle opzioni su azioni o delle opzioni su valute. Quando la volatilità istantanea è una funziona nota del tempo, il processo neutrale verso il rischio seguito dal prezzo di un azione è: dS=(r-q)Sdt+σ(t)Sdz Le formule di Black e Scholes sono corrette se il tasso di varianza viene uguagliato alla media dei tassi di varianza durante la vita dell’opzione 1 . Il tasso di varianza è il quadrato della volatilità. L’equazione scritta in precedenza assume che la volatilità istantanea sia perfettamente prevedibile. In realtà, essa si modifica in modo erratico. Questo ha indotto alcuni ricercatori a sviluppare modelli più complessi con due variabili stocastiche: il prezzo dell’azione e la sua volatilità. Hull e White hanno considerato il seguente modello a volatilità stocastica per descrivere la dinamica neutrale verso il rischio del prezzo di un’azione. 1 Esempio: Si supponga di voler valutare un’opzione a 12 mesi. Volatilità dell’azione sottostante 20% nei primi sei mesi e 30% nei sei mesi successivi. Il tasso di varianza medio è: 0,5×0,20 2 +0,5×0,30 2 =0,065, la volatilità 25,5% → 0065,0 .