Il problema della stima nelle equazioni differenziali stocastiche: un approccio operativo

Questo lavoro è un tentativo di sistematizzare, o quantomeno presentare in modo il più possibile generale e all'interno di uno schema logico di fondo, il problema della stima nella classe di modelli nota come Equazioni Differenziali Stocastiche (in sigla SDE).

Il problema fondamentale deriva dalla natura continua di questa classe di modelli presi in considerazione, quando invece ci troviamo ad operare, nell'ambito delle applicazioni concrete, cioè al di fuori di contesti puramente teorici o particolarmente fortunati, specie in ambito ingegneristico dove si potrebbe anche supporre di poter disporre per sistemi particolari di osservazioni nel continuo, con un supporto informativo campionario discreto.

Proprio da tale gap non eliminabile sorge la necessità di arricchire il problema della stima di un nuovo elemento di scelta, se cioè, utilizzando quello che si è definito approccio diretto alla stima, rimanere fedeli alla struttura originaria del modello teorico proposto ed adattare in un secondo momento gli stimatori ottenuti ai dati campionari discreti, oppure, nell'ambito dell'approccio indiretto alla stima, approssimare subito il modello originario con una sua versione discreta e quindi utilizzare un qualche metodo di stima più classico per stimarne i parametri.

Esistono poi approcci che in qualche modo si propongono come intermedi tra i due sopra esposti, adottando la seconda soluzione, cioè la stima in un modello approssimato come base di partenza, ma riuscendo a posteriori in qualche modo a recuperare il legame esistente con il modello vero, come fa ad esempio il metodo dell'inferenza indiretta attraverso l'utilizzo dello strumento della simulazione.

A parere di chi scrive il modesto contributo che si può riconoscere al presente lavoro è in qualche modo duplice.

In primo luogo viene fatta una esposizione ragionata dei vari metodi di stima, almeno di quelli più noti e di largo utilizzo, che miri a coglierne la logica dell'impostazione di fondo prima ancora dei dettagli implementativi.

Il secondo contributo è più circoscritto e si sostanzia nel verificare come alcuni di quei metodi si comportino poi in situazioni concrete, applicati al problema della stima rispetto a tre modelli di equazioni differenziali stocastiche ampiamente utilizzati in letteratura specie finanziaria, anche rispetto a schemi di campionamento che differiscano sia per la numerosità sia per la frequenza nell'osservazione dei dati. Questo viene fatto nell'ambito di un lavoro di simulazione con la tecnica Monte Carlo.

Il lavoro è stato diviso in due parti per renderne più facile la lettura. Nella prima troviamo “i fondamenti”, ossia un rapido richiamo al calcolo stocastico in modo da fornire gli elementi di fondo che verranno poi utilizzati più avanti (Cap. 1). Si fa anche un cenno alle tecniche di approssimazione numerica più utilizzate (Cap. 3) ed alle equazioni differenziali stocastiche viste sotto l'ottica dello statistico più che del matematico, cercando di indicarne anche gli ambiti di applicazione più diffusi (Cap. 2).

Nella seconda parte invece si affronta il problema della stima vero è proprio, indicando dapprima lo schema generale (Cap. 4) e quindi passando in rassegna i due tipi di approccio già sopra richiamati ed i relativi metodi di stima (Cap. 5 e 6).

Verrà quindi presentato lo schema generale rispetto al quale sono state fatte le simulazioni (Cap. 7) e si trarranno alcune considerazioni sui risultati.

Completano il lavoro le tabelle dei risultati (App. A) e gli stessi risultati espressi in forma grafica, sia rispetto ai vari modelli (App. B-D) sia confrontandoli tra di loro (App. E).

Il lavoro di simulazione ha potuto avvantaggiarsi dell'utilizzo dell'ottimo linguaggio di programmazione orientato alle applicazioni matematiche MatLab nella versione $ 5.2$ e la libreria di ottimizzazione Optimization Toolbox, mentre il lavoro di stesura del manoscritto è stato realizzato utilizzando il programma di word processing e la libreria LaTeX.